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→特征函数与特征值
<math> g_i(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^\infty v_{ij} \varphi_j(\mathbf{x}) . </math>
<math> g_i(\mathbf{x}) = \sum_{j=1}^\infty v_{ij} \varphi_j(\mathbf{x}) . </math>
因此，观测量向量<math>\mathbf{g}</math>也可以类似地展开为
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x}) \\ g_2(\mathbf{x}) \\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} = \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}) \mathbf{v}_j, </math>
其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与特征函数<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。
对于守恒动力系统，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman算子在关于守恒测度下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman特征函数在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过投影直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：
<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>
其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准内积。因此，观测函数展开可以看作是在特征函数坐标系下的一种基变换。
在对系统直接进行空间测量的情况下，即<math>\mathbf{g}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>，这些Koopman模态具有物理意义，此时它们是相干空间模态，以相同的时间动力学（即线性）方式演化。Koopman模态<math>\mathbf{v}</math>也被称为动态模态（dynamic modes）。我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的动力学表示如下：
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>
这组三元组<math>{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}j)}{j=1}^\infty</math>称为Koopman模式分解，由Mezić于2005年提出<ref>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。Koopman模态分解后来通过DMD（动态模态分解）方法与数据驱动的回归建立了联系，这将在第3节中详细讨论。DMD的特征值将近似Koopman特征值<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似初始状态下相应Koopman特征函数的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。
需要注意的是，Koopman模态和特征函数是不同的数学对象，其近似方法也不相同。Koopman特征函数通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。
==一般的观测函数下如何得到特征函数？==
==一般的观测函数下如何得到特征函数？==