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第83行：
第83行： − + − − 在对系统直接进行空间测量的情况下，即<math>\mathbf{g}(\mathbf{x}) = \mathbf{x}</math>，这些Koopman模态具有物理意义，此时它们是相干空间模态，以相同的时间动力学（即线性）方式演化。Koopman模态<math>\mathbf{v}</math>也被称为动态模态（dynamic modes）。我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的动力学表示如下：
→特征函数与特征值
<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>
<math> \mathbf{v}_j = \begin{bmatrix} \langle \varphi_j, g_1 \rangle \\ \langle \varphi_j, g_2 \rangle \\ \vdots \\ \langle \varphi_j, g_p \rangle \end{bmatrix} , </math>
其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准内积。因此，观测函数展开可以看作是在特征函数坐标系下的一种基变换。
其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准内积。因此，观测函数展开可以看作是在特征函数坐标系下的一种基变换。我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的动力学表示如下：
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>
<math> \mathbf{g}(\mathbf{x}(t)) = \mathcal{K}^t \mathbf{g}(\mathbf{x}_0) = \mathcal{K}^t \sum_{j=1}^{\infty} \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \mathcal{K}^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j </math> <math> = \sum_{j=1}^{\infty} \lambda_j^t \varphi_j(\mathbf{x}_0)\mathbf{v}_j . </math>