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第27行： − − 离散Koopman算子有如下特性<ref name="brunton_2022" />： − − 1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ； − − 2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）； − − 3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> ，即特征函数的演化仅需乘以特征值的 m 次幂——这是离散时间下线性化分析的核心（详细过程见下文Koopman模式分解）。 第71行：
第63行： + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→Koopman算子定义及其性质
式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数（输入）； <math> F(x) </math>是离散流映射，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。
式中，<math> g(x) </math>是任意观测函数（输入）； <math> F(x) </math>是离散流映射，将第 k 步状态<math> x_k </math> 映射到第 k+1 步状态 <math> x_{k+1} </math>； <math> g\left( F(x) \right) </math>是观测函数的演化结果（输出），表示“先让状态 x 演化1个离散步，再对演化后的状态进行观测”。
==时间连续==
==时间连续==
3. 与Koopman特征函数的关系：若<math> \varphi </math> 是 <math> \mathcal{L} </math>的特征函数（满足<math> \mathcal{L} \varphi = \mu \varphi </math> ，则 <math> \mathcal{K}^t \varphi = e^{\mu t} \varphi </math>，即 <math> \varphi </math> 也是 <math> \mathcal{K}^t </math>的特征函数，特征值 <math> \lambda = e^{\mu t} </math>（详细过程见下文Koopman模式分解）。
3. 与Koopman特征函数的关系：若<math> \varphi </math> 是 <math> \mathcal{L} </math>的特征函数（满足<math> \mathcal{L} \varphi = \mu \varphi </math> ，则 <math> \mathcal{K}^t \varphi = e^{\mu t} \varphi </math>，即 <math> \varphi </math> 也是 <math> \mathcal{K}^t </math>的特征函数，特征值 <math> \lambda = e^{\mu t} </math>（详细过程见下文Koopman模式分解）。
== 随机动力系统 ==
实际系统常受随机噪声、参数扰动或外部不确定性影响，此时需将 Koopman 算子扩展到[[随机动力系统]]（RDS，Random Dynamical System），核心是通过 “期望” 将随机演化转化为确定性算子作用。
设含噪声的随机动力系统由[[随机微分方程（SDE）|随机微分方程（SDE，stochastic differential equation）]]给出：
<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X </math>
其中 <math> W(t) </math>是维纳过程（Wiener process，白噪声），<math> \varphi </math>是噪声强度矩阵，<math> \varphi </math> 和 <math> \varphi </math>分别是时间微分和噪声微分。
随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子：
<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>
其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间；<math> \varphi </math>为条件期望算子，下标 <math> \varphi </math> 表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算；<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现）；<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。
公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。
对于光滑观测函数<math> g </math>，随机 Koopman 算子的生成元 <math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} </math>满足：<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \lim_{t \to 0} \frac{\mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) - g(x)}{t} </math>，结合伊藤公式（Ito's lemma），生成元可展开为：
<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>
其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率；<math> \varphi </math>为噪声贡献项，<math> \varphi </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \varphi </math>是 <math> g </math>的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）。
噪声项通过 Hessian 矩阵影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。
== 特性 ==
Koopman算子主要具有三种特性：线性性、半群性质、与Koopman特征函数的关系<ref name="brunton_2022" />。
1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；
2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；
3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。
=Koopman模式分解=
=Koopman模式分解=