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==残差DMD==

==残差DMD==

在动力系统研究中，Koopman算子理论通过将非线性系统全局线性化，为分析复杂动力学行为提供了强大框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，从根本上解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

在动力系统研究中，Koopman算子理论通过将非线性系统全局线性化，为分析复杂动力学行为提供了强大框架，但传统方法如扩展动态模式分解（EDMD）面临谱污染、连续谱处理不足和高维挑战等局限。残差动态模式分解（ResDMD）通过引入残差计算机制，构建Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>及其伴随算子与自身的乘积<math>\mathcal{K}^* \mathcal{K}</math>的[[Galerkin近似]]，有效区分真实特征值与伪特征值，从根本上解决了EDMD因有限维假设和离散化误差导致的谱失真问题。

 

对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：

对于字典中任意观测函数<math>\phi_i \in \mathcal{O}</math>，其经 Koopman 算子演化后满足：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) = \phi_i(F(x))</math>，由于<math>\mathbf{Z}</math>通常不是 Koopman 不变子空间（即 <math>\mathcal{K}\phi_i \notin \mathcal{V}_{\mathcal{O}}</math>），EDMD 的目标是寻找一个矩阵 <math>\mathcal{K}_{\text{EDMD}} \in \mathbb{C}^{p \times p}</math>\(\)，使得：<math>\mathcal{K}\phi_i(x) \approx \sum_{k=1}^p (\mathcal{K}_{\text{EDMD}})_{ki} \phi_k(x) \quad \forall x \in X</math>，故定义残差函数（量化近似误差）：

<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。

<math>\min_{\mathcal{K}_{\text{EDMD}}} \int_X \sum_{i=1}^p |r_i(x)|^2 d\mu(x)</math>。

==核DMD==

==核DMD==