更改

* 积分权重：<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）

* 积分权重：<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（用于数值积分近似）

* 观测字典：<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）

* 观测字典：<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（刻画系统状态的观测函数集合）

* 精度目标：<math>epsilon>0</math>（残差阈值）

* 精度目标：<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）

输出：

输出：

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。

其中：<math>P_j</math>为j次勒让德多项式（在标准区间<math>[-1,1]</math>上正交，适合逼近光滑函数，且计算复杂度低）；<math>2x+1</math>线性变换将原区间<math>[-1,0]</math>映射到勒让德多项式的标准区间<math>[-1,1]</math>，确保基函数的正交性在目标区间内成立；<math>c_j</math>为归一化系数，使字典在<math>L^2(\Omega, \omega)</math>空间内满足<math>\langle \psi_i, \psi_j \rangle = \delta_{ij}</math><math>(\delta_{ij}</math>为克罗内克函数），减少基函数间的冗余干扰。实验中固定字典规模<math>N_K=40</math>。

实验数据为快照对<math>{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：

实验数据为快照对<math>\{(x^{(j)}, y^{(j)})\}_{j=1}^M</math>，其中<math>(y^{(j)}=F(x^{(j)})</math>（F为高斯迭代映射），<math>x^{(j)}</math>的采样方式与权重随积分规则变化，共测试 4 类典型积分规则：

* 高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。

* 高斯 - 勒让德规则：采样点：移植到<math>[-1,0]</math>的高斯 - 勒让德节点（最优多项式积分节点）；权重：对应规则的标准权重。