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==不变特征子空间==

==不变特征子空间==

应用的Koopman分析并不是在[[希尔伯特空间]]中捕捉所有测量函数的演化，而是近似在由有限组测量函数张成的不变子空间上描述系统的演化。一个Koopman不变子空间被定义为一组函数<math>{g_1, g_2, \ldots, g_p}</math>的张成空间，如果该子空间中的所有函数<math>g</math>都满足

应用的Koopman分析并不是在[[希尔伯特空间]]中捕捉所有测量函数的演化，而是近似在由有限组测量函数张成的不变子空间上描述系统的演化。一个Koopman不变子空间<ref name="brunton_2022" />被定义为一组函数<math>{g_1, g_2, \ldots, g_p}</math>的张成空间，如果该子空间中的所有函数<math>g</math>都满足

<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

<math> g = \alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2 + \cdots + \alpha_p g_p </math>

将Koopman算子限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的向量空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的线性系统。

将Koopman算子限制在由有限个函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成的不变子空间上，可以获得它的有限维矩阵表示。矩阵<math>\mathbf{K}</math>作用在<math>\mathbb{R}^p</math>上的向量空间，其坐标由各个<math>g_j(\mathbf{x})</math>的取值给定。这将诱导出一个有限维的线性系统。

Koopman算子的任意有限组特征函数都将张成一个不变子空间。把这些特征函数作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些特征函数方向，系统动力学本质上线性化。实际操作中，通常只能识别一个近似不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组特征函数近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题<ref name=colbrook_2024>Colbrook, M. J., & Townsend, A. (2024). Rigorous data‐driven computation of spectral properties of Koopman operators for dynamical systems. Communications on Pure and Applied Mathematics, 77(1), 221–283. https://doi.org/10.1002/cpa.22125</ref>。

Koopman算子的任意有限组特征函数都将张成一个不变子空间。把这些特征函数作为系统的“特征坐标”是Koopman分析中很重要的一步，因为沿这些特征函数方向，系统动力学本质上线性化。实际操作中，通常只能识别一个近似不变子空间，由一组函数<math>\{g_j\}_{j=1}^p</math>张成，并且每个函数<math>g_j</math>都可以由有限组特征函数近似表示<math> g_j \approx \sum_{k=1}^p v_{jk} \varphi_k </math>。如果我们在实际操作过程中，选取的观测函数不能张成一个不变子空间的话，最后得到的Koopman矩阵会出现[[伪特征值]]的问题<ref name="colbrook_2024">Colbrook, M. J., & Townsend, A. (2024). Rigorous data‐driven computation of spectral properties of Koopman operators for dynamical systems. Communications on Pure and Applied Mathematics, 77(1), 221–283. https://doi.org/10.1002/cpa.22125</ref>。

=Koopman算子应用的简单案例=

=Koopman算子应用的简单案例=