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第261行：
第261行： + + + + 第270行：
第274行： − + + − + 第279行：
第284行： − Ã 可以看作是 A 在主要模式上的一个“精华版”。+ − − − − Λ 是一个对角矩阵，其对角线元素就是特征值 <math>λᵢ</math>。这些特征值决定了每个模式的动态行为（增长/衰减/振荡的频率）。 − − W的列是对应的特征向量。 − +
→动力学模式分解（DMD）
===DMD算法的详细步骤===
===DMD算法的详细步骤===
假设有一个系统，每隔一段时间 Δt就测量一次系统的状态。比如，一个网格上有 100x100 个点，每个点的温度、压力等数据组成一个很长的向量。采样测量了 m+1个时间点。
假设有一个系统，每隔一段时间 Δt就测量一次系统的状态。比如，一个网格上有 100x100 个点，每个点的温度、压力等数据组成一个很长的向量。采样测量了 m+1个时间点。
下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的示意图。
下图是一张关于DMD算法在流体流动应用上的示意图。
图中左侧展示了一系列实验图像，时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。
图中左侧展示了一系列实验图像，时间t从上到下增加，表示流体流经圆柱体时的动态变化。
中间部分是数据收集和处理过程，通过矩阵运算将实验数据转换为适合分析的形式。
中间部分是数据收集和处理过程，通过矩阵运算将实验数据转换为适合分析的形式。
右侧展示了DMD的应用，包括诊断和时间动力学预测，以及未来状态的预测。图中使用红色虚线标注了过去和未来的时间线，并有彩色图形表示动态模式。
右侧展示了DMD的应用，包括诊断和时间动力学预测，以及未来状态的预测。图中使用红色虚线标注了过去和未来的时间线，并有彩色图形表示动态模式。
DMD算法：
DMD算法：
1.组建矩阵X和X'
1.组建矩阵X和X'。
如上图中间的“collect data”.
如上图中间的“collect data”.
2.对矩阵X进行奇异值分解（SVD）：<math> X = U Σ V*</math>
2.计算X的SVD：<math> X = U Σ V* </math>
通过SVD可以降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。
通过SVD可以降维，只保留前 r个重要的模式（即低秩近似）。
3.计算Ã: Ã = U* X' V Σ⁻¹
3.计算Ã: Ã = U* X' V Σ⁻¹
4.求解Ã的特征特征值和特征向量： Ã W = W Λ
4.计算Ã 的特征分解： Ã W = W Λ
5.DMD 模式（Spatial Modes）
5.DMD模态为：φ= λX'V Σ⁻¹w。
==扩展DMD==
==扩展DMD==