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==时间离散==

==时间离散==

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。 设离散时间自治动力系统的状态演化满足<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

离散时间场景适用于状态演化由离散映射描述的系统，如采样数据系统、迭代过程、数字控制中的离散时间模型等，是实际工程中数据驱动建模的常用场景。 设离散时间自治动力系统的状态演化满足：

<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>

<math> x_{k+1} = F(x_k), \quad x_0 \in X </math>

其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是离散时间步，<math> F: X \to X </math>是离散流映射（可能非线性）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。离散时间Koopman算子 <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为：

其中 <math> k = 0, 1, 2, \dots </math>是离散时间步，<math> F: X \to X </math>是离散流映射（可能非线性）， <math> x_{k+1} </math>是第<math> k+1 </math> 步的状态。离散时间Koopman算子 <math> \mathcal{K}: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>

<math> \mathcal{K} g(x) = g\left( F(x) \right) </math>

连续时间场景适用于状态演化由[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。  

连续时间场景适用于状态演化由[[常微分方程（ODE）]]或[[偏微分方程（PDE）]]描述的系统，如连续运动的机械系统、流体流动等。  

<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in X </math>  

<math> \dot{x}(t) = f(x(t)), \quad x(0) = x_0 \in X </math>  

其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt}  </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n  </math>是描述动力学的向量场（可能非线性）。   

其中<math> \dot{x} = \frac{dx}{dt}  </math>是状态的时间导数，<math> f: X \to \mathbb{R}^n  </math>是描述动力学的向量场（可能非线性）。   

连续时间Koopman算子<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math> 定义为：

连续时间Koopman算子<math> \mathcal{K}^t: \mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math> 定义为<ref name="koopman_1931" /><ref name="koop_v_1932" /><ref name="brunton_2022" />：

<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>   

<math> \mathcal{K}^t g(x) = g\left( F^t(x) \right) </math>   

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X  </math>

<math> dx(t) = f(x(t)) dt + \sigma(x(t)) dW(t)，\quad x(0) = x_0 \in X  </math>

其中 <math> W(t) </math>是维纳过程（Wiener process，白噪声），<math> \varphi </math>是噪声强度矩阵，<math> \varphi </math> 和 <math> \varphi </math>分别是时间微分和噪声微分。

其中 <math> W(t) </math>是维纳过程（Wiener process，白噪声），<math> \sigma(x(t)) </math>是噪声强度矩阵。

随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

随机 Koopman 算子 <math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}}：\mathcal{G}(X) \to \mathcal{G}(X) </math>定义为期望算子<ref name="brunton_2022" /><ref>N. C\v  rnjaric\'-Z\v ic, S. Mac\'es\v ic\', and I. Mezi\'c, Koopman operator spectrum for random dynamical systems, J. Nonlinear Sci., 30 (2020), pp. 2007--2056, <nowiki>https://doi.org/10.1007/s00332019-09582-z</nowiki></ref>：

<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>

<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} g(x) = \mathbb{E}_x \left[ g\left( F^t(x, W) \right) \right] </math>

其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间；<math> \varphi </math>为条件期望算子，下标 <math> \varphi </math> 表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算；<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现）；<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。

其中，<math> \mathcal{K}^t_{\text{stoch}} </math>为随机 Koopman 算子，参数 t 为演化时间；<math> \mathbb{E}_x \left[ \right] </math>为条件期望算子，下标表示初始状态为 <math> x </math>，期望针对噪声过程 <math> W(t) </math>计算；<math> F^t(x, W) </math>为随机流映射，表示初始状态<math> x </math>在噪声 <math> W(t) </math>作用下经时间 t 的演化结果（SDE 的解，依赖噪声实现）；<math> g\left( F^t(x, W) \right) </math>为随机观测结果，随噪声 <math> W(t) </math>变化。

公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。

公式核心是通过期望消除噪声随机性，得到观测函数的平均演化 —— 随机 Koopman 算子作用后，输出为确定性函数（平均观测值）。

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>

<math> \mathcal{L}_{\text{stoch}} g(x) = \nabla g(x) \cdot f(x) + \frac{1}{2} \text{tr} \left( \sigma(x) \sigma(x)^T \nabla^2 g(x) \right) </math>

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率；<math> \varphi </math>为噪声贡献项，<math> \varphi </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \varphi </math>是 <math> g </math>的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）。

其中， <math> \nabla g \cdot f </math>为与确定性系统的生成元一致，对应无噪声时观测函数的瞬时变化率；<math> σ(x) </math>为噪声贡献项，<math> Tr(⋅) </math>是矩阵迹（对角线元素之和），<math> \nabla^2 </math>是 <math> g </math>的 Hessian 矩阵（二阶偏导数矩阵）。

噪声项通过 Hessian 矩阵影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

噪声项通过 Hessian 矩阵影响观测函数的演化，反映噪声对观测不确定性的贡献；当噪声强度<math> \sigma(x) = 0 </math>时，随机算子退化为确定性连续时间 Koopman 算子；随机 Koopman 算子的特征值可能包含衰减项（对应噪声导致的不确定性耗散），特征函数可刻画系统的 “平均线性化” 演化。

== 算子性质 ==

== 算子性质 ==

Koopman算子主要具有三种特性：线性性、半群性质、与Koopman特征函数的关系<ref name="brunton_2022" />。

Koopman算子主要具有两种特性：线性性、半群性质<ref name="brunton_2022" />。

1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；  

1. 线性性：满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；  

2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）；

2. 半群性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）。若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。  

 

3. 特征函数关系：若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的特征函数，满足<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman模式分解）。

=Koopman模式分解=

=Koopman模式分解=