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第288行： − 虽然DMD（动态模态分解）已成为一种近似Koopman算子的标准数值方法，但它基于对系统的线性测量，因此无法识别那些用于近似Koopman算子的强非线性系统所需的非线性坐标变换。为了解决这一问题，Williams等人提出了扩展DMD（eDMD），使得最佳拟合线性DMD回归可以在一个包含状态非线性测量的扩展向量上进行。eDMD方法最近被证明等价于早期变分共形动力学方法，这一观点来自分子动力学文献，并可参考Klus等人的优秀综述。+ − + 第297行：
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→扩展DMD
==扩展DMD==
==扩展DMD==
虽然DMD已成为一种近似Koopman算子的标准数值方法，但它基于对系统的线性测量，因此缺乏用于近似Koopman算子的强非线性系统所需的非线性坐标变换。为了解决这一问题，Williams等人提出了扩展DMD（extended DMD，eDMD）<ref name=william_2015>M. O. Williams, I. G. Kevrekidis, and C. W. Rowley, A data-driven approximation of the Koopman operator: Extending dynamic mode decomposition, J. Nonlinear Sci., 6 (2015), pp. 1307--1346. (Cited on pp. 246, 247, 256, 284, 285, 292)</ref>，使得最佳拟合线性DMD回归可以在一个包含状态非线性测量的扩展向量上进行。
在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量通过函数 <math>g_k</math> 构造而成：
在eDMD中，一个扩展状态 <math>\mathbf{z} \in \mathbb{R}^p</math> 由对状态 <math>\mathbf{x}</math> 的非线性测量函数 <math>g_k</math> 构造而成：
<math> \mathbf{z} = \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x})\\ g_2(\mathbf{x})\\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} </math>
<math> \mathbf{z} = \mathbf{g}(\mathbf{x}) = \begin{bmatrix} g_1(\mathbf{x})\\ g_2(\mathbf{x})\\ \vdots \\ g_p(\mathbf{x}) \end{bmatrix} </math>
<math> \mathbf{Z} = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_1 & \mathbf{z}_2 & \cdots & \mathbf{z}_m \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}, \quad \mathbf{Z}' = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_2 & \mathbf{z}_3 & \cdots & \mathbf{z}_{m+1} \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} </math>
<math> \mathbf{Z} = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_1 & \mathbf{z}_2 & \cdots & \mathbf{z}_m \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix}, \quad \mathbf{Z}' = \begin{bmatrix} \vert & \vert & & \vert \\ \mathbf{z}_2 & \mathbf{z}_3 & \cdots & \mathbf{z}_{m+1} \\ \vert & \vert & & \vert \end{bmatrix} </math>
这里<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{g}(\mathbf{x}k) = \mathbf{g}(\mathbf{x}(k\Delta t))</math>，我们假设数据是在时间上等间隔采样，为简化起见。和DMD一样，构造一个最佳线性矩阵算子<math>\mathbf{A}\mathbf{Z}</math>，将<math>\mathbf{Z}</math>映射到<math>\mathbf{Z}'</math>：
这里<math>\mathbf{z}_k = \mathbf{g}(\mathbf{x}k) = \mathbf{g}(\mathbf{x}(k\Delta t))</math>，为简化起见，我们假设数据是在时间上等间隔采样。和DMD一样，构造一个最佳线性矩阵算子<math>\mathbf{A}\mathbf{Z}</math>，将<math>\mathbf{Z}</math>映射到<math>\mathbf{Z}'</math>：
<math> \mathbf{A}_\mathbf{Z} = \underset{\mathbf{A}_\mathbf{Z}}{\arg\min} \, \|\mathbf{Z}' - \mathbf{A}_\mathbf{Z} \mathbf{Z}\|_F = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}^\dagger </math>
<math> \mathbf{A}_\mathbf{Z} = \underset{\mathbf{A}_\mathbf{Z}}{\arg\min} \, \|\mathbf{Z}' - \mathbf{A}_\mathbf{Z} \mathbf{Z}\|_F = \mathbf{Z}'\mathbf{Z}^\dagger </math>
由于扩展向量<math>\mathbf{z}</math>可能远大于状态<math>\mathbf{x}</math>的维数，通常有必要使用核方法（kernel methods）来计算这个回归问题。近年来，利用核方法近似Koopman算子的DMD方法已经成为一个重要的研究课题。从原则上讲，函数<math>{g_k}_{k=1}^p</math>构成了一个丰富的基底，可以用于近似Koopman算子。在无限样本数据的情况下，eDMD矩阵会收敛到由这些函数所张成的子空间上的Koopman算子的投影。然而，如果这些函数并不张成Koopman不变子空间，那么投影算子将会产生与真实Koopman算子不同的伪特征值和特征向量。
由于扩展向量<math>\mathbf{z}</math>可能远大于状态<math>\mathbf{x}</math>的维数，通常有必要使用[[核方法]]来计算这个回归问题。近年来，利用[[核方法]]近似Koopman算子的DMD方法已经成为一个重要的研究课题<ref name=william_2015_kernal>M. O. Williams, C. W. Rowley, and I. G. Kevrekidis, A kernel approach to data-driven Koopman spectral analysis, J. Comput. Dynam., 2 (2015), pp. 247--265. (Cited on pp. 255, 256, 284, 285, 294, 318)</ref>，具体可参考下文“核DMD”的章节。在无限样本数据的情况下，eDMD矩阵会收敛到由这些函数所张成的子空间上的Koopman算子的投影。然而，如果这些函数并不张成Koopman不变子空间，那么投影算子将会产生与真实Koopman算子不同的伪特征值和伪特征向量。
例如，设有一个平凡的对角线线性系统，其特征值<math>\lambda \in {1, 2, 5}</math>，特征向量<math>\xi_j</math>为坐标方向<math>x_j</math>，以及一个对前两个特征向量进行混合的简单测量：
例如，设有一个平凡的对角线线性系统，其特征值<math>\lambda \in {1, 2, 5}</math>，特征向量<math>\xi_j</math>为坐标方向<math>x_j</math>，以及一个对前两个特征向量进行混合的简单测量：
与标准DMD类似，矩阵<math>\mathbf{Z}</math>中的数据不必来源于单条轨迹，也可以通过更高效的采样方式获取，比如拉丁超立方采样，或在相空间中随机采样。在这种情况下，<math>\mathbf{Z}'</math>中的数据则通过将<math>\mathbf{Z}</math>中的数据沿动力学系统向前推进一个时间步获得。此外，还可以利用RKHS，保证特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>的正则性，从而支持在状态空间的局部对子集样本做扩展计算。
与标准DMD类似，矩阵<math>\mathbf{Z}</math>中的数据不必来源于单条轨迹，也可以通过更高效的采样方式获取，比如拉丁超立方采样，或在相空间中随机采样。在这种情况下，<math>\mathbf{Z}'</math>中的数据则通过将<math>\mathbf{Z}</math>中的数据沿动力学系统向前推进一个时间步获得。此外，还可以利用RKHS，保证特征函数<math>\varphi(\mathbf{x})</math>的正则性，从而支持在状态空间的局部对子集样本做扩展计算。
==残差DMD==
==残差DMD==