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第2行： − Koopman理论是一种将非线性动力系统用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始系统可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得系统在这个更高维的空间中变得线性。这样，使用线性分析工具（如谱分析、特征分解）就能研究复杂的非线性动态行为，大大拓展了对非线性系统的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、混沌系统和数据驱动建模等领域。+ 第9行：
第9行： − 这一理论框架在后来的研究中得到了扩展，尤其是在流体动力学和混沌理论中被广泛应用。近年来，Koopman算子理论受到了越来越多的关注，特别是在数据驱动的动力学建模和控制领域。研究者们利用Koopman算子提取动态系统的特征，使得对复杂现象的预测和控制更加有效<ref name=brunton_2022>Brunton, S. L., Budišić, M., Kaiser, E., & Kutz, J. N. (2022). Modern Koopman Theory for Dynamical Systems. SIAM Review, 64(2), 229–340. https://doi.org/10.1137/21M1401243</ref>。+
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|keywords=Koopman算子,观测函数,动力学模式分解
|keywords=Koopman算子,观测函数,动力学模式分解
|description=本文系统综述了Koopman理论及其应用。}}
|description=本文系统综述了Koopman理论及其应用。}}
[[Koopman理论]]是一种将[[非线性动力系统]]用线性算子来分析的方法。它提出，虽然原始[[系统]]可能是非线性的，但可以通过Koopman算子作用在观测函数空间，使得[[系统]]在这个更高维的空间中变得线性。这样，使用线性分析工具（如谱分析、[[特征分解]]）就能研究[[复杂]]的非线性动态行为，大大拓展了对[[非线性系统]]的理解和建模能力。该理论广泛应用于流体力学、[[混沌]][[系统]]和数据驱动建模等领域。
=历史溯源=
=历史溯源=
[[冯诺伊曼]]是当时希尔伯特空间和谱理论的奠基人，他对动力系统的统计与概率性质、特别是遍历性和连续谱问题尤为关注。他希望将动力系统与算子谱理论紧密结合，发展概率与动力系统的严格基础。与Koopman合作的1932年论文中<ref name=koop_v_1932>Koopman, B. O., & Neumann, J. V. (1932). Dynamical Systems of Continuous Spectra. Proceedings of the National Academy of Sciences, 18(3), 255–263. https://doi.org/10.1073/pnas.18.3.255</ref>，[[冯诺伊曼]]更进一步地分析了具有连续谱的动力系统，给出了动力系统在算子谱理论下一般性的统计行为和遍历结果，对“不可积系统”的性质进行了深刻刻画。两人共同发表的重要论文是早期动力系统Koopman谱理论的里程碑，将Koopman的线性化算子思想和冯诺伊曼的希尔伯特空间、谱理论、概率逻辑方法结合，系统分析了动力系统连续谱情况下的统计与遍历性质<ref name=koop_v_1932 />。
[[冯诺伊曼]]是当时希尔伯特空间和谱理论的奠基人，他对动力系统的统计与概率性质、特别是遍历性和连续谱问题尤为关注。他希望将动力系统与算子谱理论紧密结合，发展概率与动力系统的严格基础。与Koopman合作的1932年论文中<ref name=koop_v_1932>Koopman, B. O., & Neumann, J. V. (1932). Dynamical Systems of Continuous Spectra. Proceedings of the National Academy of Sciences, 18(3), 255–263. https://doi.org/10.1073/pnas.18.3.255</ref>，[[冯诺伊曼]]更进一步地分析了具有连续谱的动力系统，给出了动力系统在算子谱理论下一般性的统计行为和遍历结果，对“不可积系统”的性质进行了深刻刻画。两人共同发表的重要论文是早期动力系统Koopman谱理论的里程碑，将Koopman的线性化算子思想和冯诺伊曼的希尔伯特空间、谱理论、概率逻辑方法结合，系统分析了动力系统连续谱情况下的统计与遍历性质<ref name=koop_v_1932 />。
这一理论框架在后来的研究中得到了扩展，尤其是在流体动力学和[[混沌理论]]中被广泛应用。近年来，Koopman算子理论受到了越来越多的关注，特别是在数据驱动的动力学建模和控制领域。研究者们利用Koopman算子提取动态[[系统]]的特征，使得对[[复杂]]现象的预测和控制更加有效<ref name=brunton_2022>Brunton, S. L., Budišić, M., Kaiser, E., & Kutz, J. N. (2022). Modern Koopman Theory for Dynamical Systems. SIAM Review, 64(2), 229–340. https://doi.org/10.1137/21M1401243</ref>。
总之，从Koopman和冯诺伊曼在1931年和1932年的开创性工作到当今的数据驱动应用，Koopman算子理论已成为现代动力学研究不可或缺的重要工具。
总之，从Koopman和冯诺伊曼在1931年和1932年的开创性工作到当今的数据驱动应用，Koopman算子理论已成为现代动力学研究不可或缺的重要工具。