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Brown等人根据新陈代谢的理论推导生物体的死亡规律。由于在大多数种群中，死亡率必须非常接近繁殖率以维持种群稳定，而繁殖率又是由新陈代谢的生物量生产所驱动的，因此死亡率的变化可以通过代谢率来解释。

Brown等人根据新陈代谢的理论推导生物体的死亡规律。由于在大多数种群中，死亡率必须非常接近繁殖率以维持种群稳定，而繁殖率又是由新陈代谢的生物量生产所驱动的，因此死亡率的变化可以通过代谢率来解释。

'''基础方程：新陈代谢率'''

===基础方程：新陈代谢率===

该理论的基础是生物的代谢率（B），其取决于生物体质量（M）和绝对温度（T）。代谢率的规模法则方程为：

该理论的基础是生物的代谢率（B），其取决于生物体质量（M）和绝对温度（T）。代谢率的规模法则方程为：

* [math]e^{-\frac{E}{kT}}[/math] 是玻尔兹曼-阿伦尼乌斯因子，表示温度的指数依赖性，其中 [math]E[/math] 是活化能，k 是玻尔兹曼常数。

* [math]e^{-\frac{E}{kT}}[/math] 是玻尔兹曼-阿伦尼乌斯因子，表示温度的指数依赖性，其中 [math]E[/math] 是活化能，k 是玻尔兹曼常数。

'''推导生物体的死亡率方程'''

===推导生物体的死亡率方程===

单位质量的代谢率（[math]B/M[/math]）遵循的方程是：[math]B/M \propto M^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{E}{kT}}[/math]。该理论进一步预测，由于新陈代谢是生物体内所有速率过程的基础，包括决定生长和繁殖的速率，因此死亡率（Z）也应以与单位质量的代谢率相同的方式进行规模缩放：[math]Z \propto M^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{E}{kT}}[/math]。因此，死亡率的规模法则方程与单位质量的代谢率方程形式上一致，也与生物体质量的 [math]-\frac{1}{4}[/math] 次方成反比。

我们不妨将生物体理解为一个水缸，基础代谢率[math]B[/math]即流入和流出水缸的速率，体重[math]M[/math]即水缸中水的总重量。于是，我们可以问，假如水缸中的水均匀流动，那么在单位时间中（例如一天），水缸中的全部水被更新了多少轮？

 

这可以通过单位质量的代谢率来计算，即[math]B/M[/math]。根据{{EquationNote|13}}，单位质量的代谢率应遵循的方程是：[math]B/M \propto M^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{E}{kT}}[/math]。因此，该理论进一步预测，由于新陈代谢是生物体内所有速率过程的基础，包括决定生长和繁殖的速率，都会与生物体的体重呈现[math]-1/4[/math]的幂律关系。

 

因此死亡率（Z）也应以与单位质量的代谢率相同的方式进行规模缩放：[math]Z \propto M^{-\frac{1}{4}}e^{-\frac{E}{kT}}[/math]。因此，死亡率的规模法则方程与单位质量的代谢率方程形式上一致，也与生物体质量的 [math]-\frac{1}{4}[/math] 次方成反比。

 

[[文件:野外鱼类死亡率与温度和质量的关系.png|无|图中展示了野外鱼类死亡率与温度（以K为单位）和质量（以克为单位）的关系<ref>Brown, J. H., Gillooly, J. F., Allen, A. P., Savage, V. M., & West, G. B. (2004). Toward a metabolic theory of ecology. ''Ecology'', ''85''(7), 1771-1789.</ref>。'''图A：'''经质量校正后的死亡率（ [math]\ln(ZM^{\frac{1}{4}})[/math]，单位为克[math]^\frac{1}{4}[/math]每年）与温度（[math]\frac{1}{kT}[/math]，单位为K）之间的关系。斜率代表活化能，低于预测范围 0.60–0.70 eV（95% 置信区间 CI，-0.37 至 -0.54）。'''图B：'''经温度校正后的死亡率（[math]\ln(Ze^{\frac{E}{kT}})[/math]，单位为每年）与体重（[math]\ln(M)[/math]，单位为克）之间的关系。斜率代表异速生长指数，其值接近预测的 [math]-\frac{1}{4}[/math]（95% 置信区间 CI，-0.20 至 -0.27）。|缩略图|800x800像素]]

[[文件:野外鱼类死亡率与温度和质量的关系.png|无|图中展示了野外鱼类死亡率与温度（以K为单位）和质量（以克为单位）的关系<ref>Brown, J. H., Gillooly, J. F., Allen, A. P., Savage, V. M., & West, G. B. (2004). Toward a metabolic theory of ecology. ''Ecology'', ''85''(7), 1771-1789.</ref>。'''图A：'''经质量校正后的死亡率（ [math]\ln(ZM^{\frac{1}{4}})[/math]，单位为克[math]^\frac{1}{4}[/math]每年）与温度（[math]\frac{1}{kT}[/math]，单位为K）之间的关系。斜率代表活化能，低于预测范围 0.60–0.70 eV（95% 置信区间 CI，-0.37 至 -0.54）。'''图B：'''经温度校正后的死亡率（[math]\ln(Ze^{\frac{E}{kT}})[/math]，单位为每年）与体重（[math]\ln(M)[/math]，单位为克）之间的关系。斜率代表异速生长指数，其值接近预测的 [math]-\frac{1}{4}[/math]（95% 置信区间 CI，-0.20 至 -0.27）。|缩略图|800x800像素]]