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在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。
在自然界中，种群的增长并非总是无限制的。马尔萨斯模型描述了在资源无限情况下的指数增长，但这在现实中几乎不存在。大多数增长过程会受到环境承载力（如食物、空间、天敌等）的限制。韦尔霍斯特意识到人口增长不但和现有人口相关，还和可用资源有关，即存在一个人口的承载量。
种群增长的一个模型是基于如下假设建立的：种群规模的增长率与种群规模成正比。这个假设对于理想条件下（无限的环境、充足的营养、没有天敌、对疾病免疫）的细菌种群或动物种群是合理的。
种群规模的增长率为导数[math]\displaystyle{ \frac{dN}{dt} }[/math]，所以种群规模的增长率与种群规模成正比的假设可以表示成：
{{NumBlk|:|
<math>
\begin{aligned}
\frac{dN}{dt} &= kN
\end{aligned}
</math>
|{{EquationRef|1}}}}
其中 $k$ 为比例常数，方程1是种群增长的第一个模型，它是一个微分方程，因为它包含未知函数 $P$ 及其导数 $\mathrm{d}P / \mathrm{d}t$ ：
建立好模型后，来考虑一下它带来的结论。如果排除规模为0的种群，那么对所有 $t$ 都有 $P(t) > 0$ 。因此，如果 $k > 0$ ，那么由方程1可得，对所有 $t$ 都有 $P^{\prime}(t) > 0$ ，这表示种群是不断增长的。事实上，方程1表明，随着 $P(t)$ 不断增大， $\mathrm{d}P / \mathrm{d}t$ 也不断增大，即随着种群增长，增长率也不断增大。
接下来解方程1. 我们要根据该方程求出一个函数，其导数是它本身的常数倍。我们从第3章中了解到，指数函数具有这个性质。实际上，如果令 $P(t) = C\mathrm{e}^{kt}$ ，则有
$$
P ^ {\prime} (t) = C \left(k e ^ {k t}\right) = k \left(C e ^ {k t}\right) = k P (t),
$$
即任何形如 $P(t) = C\mathrm{e}^{kt}$ 的指数函数都是方程的解．
令 $C$ 为不同的实数值，可以得到方程的解族 $P(t) = Ce^{kt}$ 。而种群规模只能为正，所以只保留 $C > 0$ 的解。此外，我们只关心解在 $t$ 大于初始时间 $t = 0$ 的部分。代入 $t = 0$ ，得到 $P(0) = Ce^{k(0)} = C$ ，所以常数 $C$ 为种群规模的初值 $P(0)$ 。
==核心思想==
==核心思想==