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第1,123行： − + − 流模型从更普适的物理学原理出发，将生物体视为一个高效的物质运输系统，而不局限于特定的分形几何结构。这部分将从Banavar 模型和Dreyer模型来讲述。+ − + − + − − 自然界中的分布式网络源于有效连接的需要，既存在于生物系统中，如心血管和呼吸网络以及植物的维管和根系统，也存在于无机系统中，如河流流域的排水网络。他们推导了任意网络中大小和流率之间的一般关系，并提供了一个统一的框架来解释异速标度。 第1,138行：
第1,136行： − +
→流模型
[[文件:图3.11 WBE模型的模拟.png|WBE模型网络的模拟。上面两张图分别为L=3和L=5时的网络形态，下图展示了当L取1到15时的入流与总流量的关系，也即新陈代谢率[math]F[/math]与体重[math]M[/math]之间的幂律关系 <ref name=":1" />|替代=|无|缩略图|400x400像素]]
[[文件:图3.11 WBE模型的模拟.png|WBE模型网络的模拟。上面两张图分别为L=3和L=5时的网络形态，下图展示了当L取1到15时的入流与总流量的关系，也即新陈代谢率[math]F[/math]与体重[math]M[/math]之间的幂律关系 <ref name=":1" />|替代=|无|缩略图|400x400像素]]
=== 流模型 ===
=== 输运网络模型 ===
WBE模型虽然解释力度很强，但是模型略显复杂，引入的假设也比较多，而且生成的网络模型非常规则。这些不足促使更多的人提出更多的输运网络模型，该模型从一组更简单的假设出发，将生物体视为一个高效（最优）的物质运输系统，而不局限于特定的分形几何结构。进一步，Dreyer等人将Banavar网络的结构特征进一步泛化到流场之中，从而提出了Dreyer球模型。这部分我们将分别从Banavar 模型和Dreyer模型出发来介绍他们的研究。
==== Banavar 模型 ====
==== Banavar最优网络模型 ====
Banavar, Maritan和Rinaldo (1999)研究了高效运输网络中的大小和形式关系。他们的研究表明，许多生物过程都以异速标度（幂律）关系为特征<ref name=":6">Dreyer, O. (2001). Allometric scaling and central source systems. Physical Review Letters, 87(3), 38101-1-38101–38103</ref>。一个突出的问题是典型的异速标度关系，生物速率对体重的幂律依赖。
Banavar, Maritan和Rinaldo (1999)研究了高效运输网络中的大小和形式关系。自然界中的分布式网络源于有效连接的需要，既存在于生物系统中，如心血管和呼吸网络以及植物的维管和根系统，也存在于无机系统中，如河流流域的排水网络。他们推导了任意网络中大小和流率之间的一般关系，并提供了一个统一的框架来解释[[克莱伯定律]]。
对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]，等价地，转移站点数B的标度最多为[math]\displaystyle{ C^{D/(D+1)} }[/math]，最少为[math]\displaystyle{ C^{1/2} }[/math]。一个简单的论证是C等于转移站点数（[math]\displaystyle{ L^D }[/math]）乘以转移站点到源的平均距离。
对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]，等价地，转移站点数B的标度最多为[math]\displaystyle{ C^{D/(D+1)} }[/math]，最少为[math]\displaystyle{ C^{1/2} }[/math]。一个简单的论证是C等于转移站点数（[math]\displaystyle{ L^D }[/math]）乘以转移站点到源的平均距离。
==== Dreyer模型 ====
==== Dreyer模型 ====
Dreyer (2001) 在 Banavar 的基础上提出了中央源系统的异速标度理论。他指出，异速标度关系在自然界中大量存在，包括动植物代谢率与其质量的幂律关系，以及河流流域大小与其所含水量总量的幂律关系<ref name=":6" />。对于动物和植物，代谢率B与质量M通过幂律相关：[math]\displaystyle{ B = B_0M^{3/4} }[/math]。对于动物，这个关系被称为克莱伯定律。
Dreyer (2001) 在 Banavar 的基础上提出了中央源系统的异速标度理论。他指出，异速标度关系在自然界中大量存在，包括动植物代谢率与其质量的幂律关系，以及河流流域大小与其所含水量总量的幂律关系<ref name=":6">Dreyer, O. (2001). Allometric scaling and central source systems. Physical Review Letters, 87(3), 38101-1-38101–38103</ref>。对于动物和植物，代谢率B与质量M通过幂律相关：[math]\displaystyle{ B = B_0M^{3/4} }[/math]。对于动物，这个关系被称为克莱伯定律。
对于河流，流域（drainage basin）的大小A和河流中包含的水的总量M满足：[math]\displaystyle{ A = A_0M^{2/3} }[/math]。在一维系统的实验中，水在组织上的质量M和长度L通过以下等式相关：[math]\displaystyle{ L = L_0M^{1/2} }[/math]。
对于河流，流域（drainage basin）的大小A和河流中包含的水的总量M满足：[math]\displaystyle{ A = A_0M^{2/3} }[/math]。在一维系统的实验中，水在组织上的质量M和长度L通过以下等式相关：[math]\displaystyle{ L = L_0M^{1/2} }[/math]。