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在环境资源有限情况下，种群一开始呈指数级增长，当种群规模接近环境容纳量K时，种群趋于稳定（如果种群规模超过K，则会减小至K）。一个考虑到上述两个趋势的模型应该满足如下两个假设：
在环境资源有限情况下，种群一开始呈指数级增长，当种群规模接近环境容纳量K时，种群趋于稳定（如果种群规模超过K，则会减小至K）。一个考虑到上述两个趋势的模型应该满足如下两个假设：
当N很小时，<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\approx cN</math> （开始时，增长率与N成正比,c为比例常数）；
当N很小时，<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t}\approx cN</math> （开始时，增长率与N成正比，c为比例常数）；
当N > K时，<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} < 0</math> （当N超过K时，N减小）。
当N > K时，<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} < 0</math> （当N超过K时，N减小）。
一种能同时体现上面两个假设的方法是，假设种群规模的增长率和种群规模成正比，并且和环境容纳量与种群规模之差成正比。
一种能同时体现上面两个假设的方法是，假设种群规模的增长率和种群规模成正比，并且和环境容纳量与种群规模之差成正比。
对应的微分方程为<math>\mathrm{d}N/ \mathrm{d}t = cN(K - N)</math>，其中λ为比例常数，它等价于<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = λN\left(1 - \frac{N}{K}\right)</math>，其中λ = cK。
对应的微分方程为<math>\mathrm{d}N/ \mathrm{d}t = cN(K - N)</math>，其中λ为比例常数，它等价于<math>\frac{\mathrm{d}N}{\mathrm{d}t} = \frac{λN(K - N)}{K}</math>，其中<math>λ = cK</math>。
[[文件:Population_growth.png|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。引自]]
[[文件:Population_growth.png|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 指数增长（Exponential growth）和逻辑斯谛增长（Logistic growth）。引自]]
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
\frac{dN}{dt} &= rN(1-\frac{N}{K})
\frac{dN}{dt} &= λN(1-\frac{N}{K})
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
* <math>N_{(t)}</math>: 在时间t时的种群规模；
* <math>N_{(t)}</math>: 在时间t时的种群规模；
* r: 内禀增长率，表示在理想条件下种群的最大增长潜力；
* λ: 内禀增长率，表示在理想条件下种群的最大增长潜力；
* K: 环境承载力，即环境所能支持的最大种群规模；
* K: 环境承载力，即环境所能支持的最大种群规模；
* <math>\frac{dN}{dt}</math>: 种群在时刻t的瞬时增长率。
* <math>\frac{dN}{dt}</math>: 种群在时刻t的瞬时增长率。
该方程也可以从原始形式推导而来。韦尔霍斯最初提出的形式是<math>\frac{dN}{dt} = rN - \alpha N^2</math> ，其中<math> \alpha</math>表示密度依赖的拥挤效应（种内竞争），通过变量替换<math> K = \frac{r}{\alpha}</math>可得标准形式。
该方程也可以从原始形式推导而来。韦尔霍斯最初提出的形式是<math>\frac{dN}{dt} = λN - \alpha N^2</math> ，其中<math> \alpha</math>表示密度依赖的拥挤效应（种内竞争），通过变量替换<math> K = \frac{λ}{\alpha}</math>可得标准形式。
==解析解与S形曲线==
==解析解与S形曲线==
<math>
<math>
\begin{aligned}
\begin{aligned}
N_{(t)} = \frac{K}{1+(\frac{K-N_0}{N_0})e^{-rt}}
N_{(t)} = \frac{K}{1+(\frac{K-N_0}{N_0})e^{-λt}}
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
|{{EquationRef|3}}}}或者等价形式：<math>N_{(t)} = \frac{K}{1 + C K e^{-rt}}</math>
|{{EquationRef|3}}}}或者等价形式：<math>N_{(t)} = \frac{K}{1 + C K e^{-λt}}</math>
其中<math>C = \frac{1}{N_0} - \frac{1}{K}</math>是由初始条件决定的常数。
其中<math>C = \frac{1}{N_0} - \frac{1}{K}</math>是由初始条件决定的常数。
===拐点===
===拐点===
逻辑斯谛曲线的拐点出现在 <math>N = \frac{K}{2}</math>处，此时种群增长率达到最大值<math>\frac{rK}{4}</math> 。这一性质在实际应用中具有重要意义，例如在资源管理和流行病控制中，拐点可以帮助确定干预措施的最佳时机。
逻辑斯谛曲线的拐点出现在 <math>N = \frac{K}{2}</math>处，此时种群增长率达到最大值<math>\frac{λK}{4}</math> 。这一性质在实际应用中具有重要意义，例如在资源管理和流行病控制中，拐点可以帮助确定干预措施的最佳时机。
[[文件:Logistic curve.jpg|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 简单逻辑斯谛曲线的示意图。增长率函数在同一图上以钟形曲线表示。引自<ref>Kucharavy, D., Roland, DG. (2015). Application of logistic growth curve. Procedia engineering, 131, 280-290. https://doi.org/10.1016/j.proeng.2015.12.390</ref>]]
[[文件:Logistic curve.jpg|替代=|居中|缩略图|680x680像素|图1. 简单逻辑斯谛曲线的示意图。增长率函数在同一图上以钟形曲线表示。引自<ref>Kucharavy, D., Roland, DG. (2015). Application of logistic growth curve. Procedia engineering, 131, 280-290. https://doi.org/10.1016/j.proeng.2015.12.390</ref>]]