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第534行： − + − 历史上，像 Perron-Frobenius (PF) 算子这样的传递算子在遍历理论中被用于研究测度论特征。下面将在确定性和随机系统的背景下描述 PF 算子。如果是确定性系统，那么令 <math> \mathbb{X} \subset \mathbb{R}^d </math> 为一个紧致[[流形]]，且 <math> f : \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{X} </math> 为一个光滑的时不变向量场。考虑如下自治时不变常微分方程+ − + − 令 <math> \phi_f : \mathbb{R} \times \mathbb{X} \rightarrow \mathbb{X} </math> 为 ODE 的流映射，即 <math> \phi_f(t, x_0) </math> 是ODE在初始条件 <math> x(0) = x_0 </math> 下的解。 + − '''定义''': 如果算子半群 <math> \mathcal{P}^\tau : \tau \ge 0 </math> 满足如下定义，则称其为 Perron-Frobenius (PF) 算子，其中 <math> \mathcal{P}^\tau : L^1(\mathbb{X}) \rightarrow L^1(\mathbb{X}) </math> 定义为 <ref name=goswami_2018>Goswami, D., Thackray, E., & Paley, D. A. (2018). Constrained Ulam Dynamic Mode Decomposition: Approximation of the Perron-Frobenius Operator for Deterministic and Stochastic Systems. IEEE Control Systems Letters, 2(4), 809–814. https://doi.org/10.1109/LCSYS.2018.2849552+ − − + − 其中 <math> D_x </math> 表示关于空间变量 <math> x </math> 的雅可比行列式。如果 <math> \rho(\cdot) </math> 是关于绝对连续概率测度 <math> \nu </math> 的概率密度函数 (PDF)，那么 <math> \mathcal{P}^\tau \rho </math> 是关于绝对连续概率测度 <math> \nu \circ \phi(-\tau, \cdot) </math> 的另一个PDF。具体来说，+ − + − 对于任意 <math> \nu </math>-可测集 <math> B </math>。PF算子根据动力学的流随时间平移概率密度函数。可以证明，该半群 <math> \mathcal{P}^\tau \rho </math> 的生成元由 <math> -\nabla \cdot (\rho f) </math> 给出。 + − 现在假设我们定义一个时变 PDF <math> \tilde{\rho}(t, x) \triangleq \mathcal{P}^t \rho(x) </math>。那么可以证明 <math> \tilde{\rho}(t, x) </math> 满足偏微分方程 (PDE)<math> \frac{\partial \tilde{\rho}}{\partial t} = -\nabla \cdot (\tilde{\rho} f) </math> <math> \tilde{\rho}(0, x) = \rho(x). </math>+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→PF算子
=与其他算子的关系=
=与其他算子的关系=
==PF算子==
==Perron-Frobenius算子==
Perron-Frobenius (PF) 算子，也被称为 Ruelle 转移算子，是非线性动力学的一种线性表示，与 Koopman 算子的发展平行。Koopman 算子演化的是从动力学定义域取值的测量函数（可观测量），而 PF 算子不同，它演化的是支撑在动力学定义域上的[[测度]]（分布）。由于 PF 算子和 Koopman 算子可以在适当定义的函数空间中被证明是形式上的伴随，我们在此介绍一下PF算子<ref name=lasota_1994>A. Lasota and M. C. Mackey, Chaos, Fractals, and Noise: Stochastic Aspects of Dynamics, 2nd ed., Appl. Math. Sci. 97, Springer-Verlag, New York, 1994. (Cited on pp. 240, 270, 271, 273, 300)</ref><ref>E. M. Bollt and N. Santitissadeekorn, Applied and Computational Measurable Dynamics, Math. Model. Comput. 18, SIAM, Philadelphia, 2013, https://doi.org/10.1137/1. 9781611972641. (Cited on p. 270)</ref>。
<math> \dot{x} = f(x). </math>
设动力学的定义域 <math>\mathcal{X}</math> 被赋予[[Borel可测空间]]的结构。给定一个概率测度 <math>\mu</math> 和任意可测集 <math>A</math>，'''定义'''PF算子为
<math>\mathcal{P}^t \mu(A) := \mu(\mathbf{F}^{-t}(A)),</math>
其中 <math>\mathbf{F}^{-t}(A) := \{\mathbf{x} \in \mathcal{X} : \mathbf{F}^t(\mathbf{x}) \in A\}</math> 是 <math>A</math> 通过动力学的[[原像]]。与 Koopman 算子类似，<math>\mathcal{P}^t</math> 族形成一个[[幺半群]]。另一种表述将概率测度空间上的作用替换为函数空间上的作用<ref name=lasota_1994 />。这假设[[流映射]] <math>\mathbf{F}^t</math> 相对于某个基测度 <math>m</math>（例如[[勒贝格测度]]）是非奇异的，意味着
</ref>
<math> \mathcal{P}^\tau \rho(\cdot) = \rho \circ \phi_f(-\tau, \cdot) |\det(D_x \phi_f(-\tau, \cdot))|, </math>
<math>m(A) \neq 0 \implies m(\mathbf{F}^{-t}(A)) \neq 0.</math>
将 <math>g \in L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 解释为测度的密度，即 <math>d\mu = g dm</math>，可以将 PF 算子 <math>\mathcal{P}^t: L^1(\mathcal{X}, dm) \to L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 定义为
<math> \int_B \mathcal{P}^\tau \rho d\nu = \int_{\phi_f(-\tau, B)} \rho d\nu, </math>
<math>\int_A \mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) dm = \int_{\mathbf{F}^{-t}(A)} g(\mathbf{x}) dm</math>
上式对于任意 Borel 集 <math>A</math> 成立。如果流映射还是光滑的，则该定义等价于
<math>\mathcal{P}^t g(\mathbf{x}) = \int_{\mathbf{F}^{-t}(\mathbf{x})} \frac{g(\mathbf{s})}{|\nabla \mathbf{F}^t(\mathbf{s})|} dm(\mathbf{s}),</math>
其中 <math>|\nabla \mathbf{F}^t|</math> 表示流映射导数的[[雅可比行列式]]的行列式值。
这两种表述（即之前的定义与上述积分定义）通过将 <math>g \in L^1</math> 解释为定义绝对连续于 <math>dm</math> 的概率测度的密度（即 <math>d\mu = g dm</math>）而联系起来。假设动力学可以被限制在一个有限测度的空间内，则有 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm) \subset L^2(\mathcal{X}, dm) \subset L^1(\mathcal{X}, dm)</math>。在这种设定下，Koopman 算子和 PF 算子可以分别定义在 <math>L^\infty(\mathcal{X}, dm)</math> 和 <math>L^1(\mathcal{X}, dm)</math> 上，或者都定义在 <math>L^2(\mathcal{X}, dm)</math> 上，并且可以证明它们互为伴随<ref name=lasota_1994 />：
<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>
由于证明是通过简单函数（即指示函数的线性组合）逼近的标准论证进行的，这种关系可以扩展到更广泛的场景。伴随算子具有相同的谱，尽管它们的[[特征函数]]确实不同，正如矩阵及其伴随（转置）的特征向量的一般情况一样。对于保持[[勒贝格测度]]的可逆非奇异动力学，时间正向映射 <math>\mathbf{F}^t</math> 的 PF 算子恰恰是时间反向映射 <math>\mathbf{F}^{-t}</math> 的 Koopman 算子<ref name=lasota_1994 />。对于用随机矩阵近似PF算子，一种早期使用且至今仍在使用的技术被称为[[Ulam方法]]，这是以Ulam的一个猜想命名的<ref>S. Ulam, Problems in Modern Mathematics, Science Editions, 1960. (Cited on p. 271)</ref>。关于[[Ulam方法]]本身的介绍，读者可进一步查阅该词条。
PF 算子的特征函数对应于状态空间中点的复数值分布，这些分布根据相关的特征值进行演化
<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>
当 <math>\lambda = 1</math> 时，<math>\rho</math> 是不变密度，可将动力学划分为不变集。即使远离[[Galerkin近似]]的极限，Ulam矩阵 <math>\mathbf{U}</math>(PF算子的具体矩阵表示) 也可以被解释为有向图上的[[马尔可夫链]]转移矩阵，这允许定义状态空间中的[[几乎不变集]]<ref>G. Froyland and M. Dellnitz, Detecting and locating near-optimal almost-invariant sets and cycles, SIAM J. Sci. Comput., 24 (2003), pp. 1839--1863, https://doi.org/10.1137/ S106482750238911X. (Cited on pp. 240, 272)</ref>。对于模长<math>|\lambda| \neq 1</math>的特征值，其特征函数与动力系统状态空间中的混合性质和逃逸率有关<ref>G. Froyland and O. Stancevic, Escape rates and Perron-Frobenius operators: Open and closed dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. B, 14 (2010), pp. 457--472, https: //doi.org/10.3934/dcdsb.2010.14.457. (Cited on p. 272)</ref>。
PF算子的无穷小生成元是[[Liouville算子]] <math>\mathcal{A}</math>，其满足
<math>\mathcal{P}^t = e^{t\mathcal{A}}.</math>
类似于Koopman算子的Lie 生成元，当动力学使用速度场 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math> 指定时，可以证明[[Liouville算子]]满足
<math>\mathcal{A}\rho = -\operatorname{div}(\rho \mathbf{f}),</math>
进而导出一个[[Liouville算子]]和 PF 算子的特征函数必须满足的PDE，
<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>
只要PF算子特征值<math>\lambda = e^\mu \in \mathbb{C}/\{0\}</math> 成立。Koopman和PF算子的不变特征函数已被用于提取动力系统状态空间中的不变集。在这些算子互为对偶的函数空间中，两个算子的特征函数理论上包含相同的信息。然而，在现实中，这种选择可能是基于实际约束做出的。例如，通过Koopman特征函数对不变集的近似依赖于长时间的轨迹，而Ulam对PF的近似通常需要定义域内密集采样的短时轨迹<ref>M. Budis\v i\'c and I. Mezic\', Geometry of the ergodic quotient reveals coherent structures in flows, Phys. D, 241 (2012), pp. 1255--1269, https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006. (Cited on pp. 231, 232, 237, 244, 267, 272, 279)</ref>。
==Lie算子==
==Lie算子==