142
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第80行：
第80行： − + − 一维自治系统的解 x(t) 必须是时间t的单调函数（或为常数）。这是符合直觉的：给定时间 <math>t</math> 下系统不可能同时处于两个不同的确定状态。+ − − ===振荡的不可能性=== − − 作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、超调或阻尼振荡。这是由实线的拓扑结构所决定的 − '''存在性与唯一性定理'''+ − 若<math>f(x)</math>及其导数<math>f'(x)</math> 在包含初始点<math>x_0</math>的开区间上连续，则初值问题 + 第101行：
第97行： − + −
→性质
==性质==
==性质==
===单调性===
===单调性与振荡的不可能性===
一维（自治）系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 的解 <math>x(t)</math> 必须是时间t的单调函数（或为常数）。换言之，一维系统的解要么是常数，要么收敛到不动点，要么发散到无穷。如右图所示，如果相点初始位于右侧稳定不动点附近，它将收敛到稳定不动点；如果相点初始时恰好位于两个不动点处，则它将始终呆在原位。而如果相点初始位于不稳定不动点的左侧，可知相点的速度始终向左，且逐渐增加，因此它最终将发散至无穷大。作为单调性的直接推论，一维系统不可能出现周期解、超调或阻尼振荡。这是由实线的拓扑结构所决定的，假设某个一维自治系统的解是周期或存在超调，那么一定会存在某个状态，对应这两个不同的 <math>\dot{x}</math>，这和 <math>f</math> 是一个函数矛盾。因此一维自治系统的解一定是单调的。
===存在性与唯一性===
===存在性与唯一性===
在应用视角下，我们总是假定的一维系统 <math>\dot{x} = f(x)</math> 存在唯一的解。但一些看似简单的病态系统拥有不止一个解。例如考虑 <math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math>，可以验证 <math>x(t) \equiv 0</math> 和 <math>x(t) = \left(\frac{2}{3} t\right)^{3/2}</math> 都是原系统的解。究其原因，<math>x^{1/3}</math> 在 <math>x = 0</math> 处的斜率为无穷大，而该系统除了上面两个解外还有无穷多个解。
下面给出了保证解存在性和唯一性的条件。若<math>f(x)</math>及其导数<math>f'(x)</math> 在包含初始点<math>x_0</math>的开区间上连续，则初值问题
<math>
<math>
\left\{
\left\{
\right.
\right.
</math>
</math>
的解<math>x(t)</math>在<math>t=0</math>的某个邻域<math>(-\tau, \tau)</math>内存在且唯一。<math>\dot{x} = x^{1/3}, x(0) = 0</math> 这一例子中的 <math>f(x)</math> 在 <math>x=0</math> 处有无穷间断点，因此不满足存在性和唯一性定理的条件。注意该定理只是说解在初试时间的某个邻域内存在，而不是说解对所有时间都有存在。考虑系统 <math>\dot{x}=1+x^2, x(0) = x_0</math> 可以检查该系统符合上述定理的条件，在 <math>t=0</math> 的一个邻域内存在唯一解。解上述微分方程可得 <math>x(t) = tan(t)</math>，可知只有当 <math>t \in (-\pi/2, \pi/2)</math> 时才有解。
的解<math>x(t)</math>在<math>t=0</math>的某个邻域<math>(-\tau, \tau)</math>内存在且唯一。
==数值积分方法==
==数值积分方法==