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<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>

<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>

由于证明是通过简单函数（即指示函数的线性组合）逼近的标准论证进行的，这种关系可以扩展到更广泛的场景。伴随算子具有相同的谱，尽管它们的[[特征函数]]确实不同，正如矩阵及其伴随（转置）的特征向量的一般情况一样。对于保持[[勒贝格测度]]的可逆非奇异动力学，时间正向映射 <math>\mathbf{F}^t</math> 的 PF 算子恰恰是时间反向映射 <math>\mathbf{F}^{-t}</math> 的 Koopman 算子<ref name=lasota_1994 />。对于用随机矩阵近似PF算子，一种早期使用且至今仍在使用的技术被称为[[Ulam方法]]，这是以Ulam的一个猜想命名的<ref>S. Ulam, Problems in Modern Mathematics, Science Editions, 1960. (Cited on p. 271)</ref>。关于[[Ulam方法]]本身的介绍，读者可进一步查阅该词条。

由于证明是通过简单函数（即指示函数的线性组合）逼近的标准论证进行的，这种关系可以扩展到更广泛的场景。伴随算子具有相同的谱，尽管它们的[[特征函数]]确实不同，正如矩阵及其伴随（转置）的特征向量的一般情况一样。对于保持[[勒贝格测度]]的可逆非奇异动力学，时间正向映射 <math>\mathbf{F}^t</math> 的 PF 算子恰恰是时间反向映射 <math>\mathbf{F}^{-t}</math> 的 Koopman 算子<ref name=lasota_1994 />。

 

对于用随机矩阵近似PF算子，一种早期使用且至今仍在使用的技术被称为[[Ulam方法]]，这是以Ulam的一个猜想命名的<ref>S. Ulam, Problems in Modern Mathematics, Science Editions, 1960. (Cited on p. 271)</ref>。关于[[Ulam方法]]本身的介绍，读者可进一步查阅该词条。

PF [[算子]]的[[特征函数]]对应于[[状态空间]]中点的复数值分布，这些分布根据相关的[[特征值]]进行演化   

PF [[算子]]的[[特征函数]]对应于[[状态空间]]中点的复数值分布，这些分布根据相关的[[特征值]]进行演化