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Koopman[[算子]]主要具有以下四种特性<ref name="brunton_2022" />：

Koopman[[算子]]主要具有以下四种特性<ref name="brunton_2022" />：

2. [[半群]]性质：<math> \mathcal{K}^{m+n} = \mathcal{K}^m \circ \mathcal{K}^n </math>（ m 步+ n 步演化等价于 m+n 步演化）。若<math> \varphi </math>是<math> \mathcal{K} </math> 的[[特征函数]]，即存在<math> \mathcal{K} \varphi = \lambda \varphi </math>，则<math> \mathcal{K}^m \varphi = \lambda^m \varphi </math> （详细过程见下文Koopman[[模式分解]]）。

满足<math> \mathcal{K} (\alpha_1 g_1 + \alpha_2 g_2) = \alpha_1 \mathcal{K} g_1 + \alpha_2 \mathcal{K} g_2 </math> ；

3. 伴随[[算子]]：Koopman[[算子]]与[[Perron-Frobenius算子]]<math>\mathcal{P}</math>互为伴随[[算子]]，即<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>详细的阐述见后文“[[Perron-Frobenius算子]]”章节。

# [[半群]]性质：

4. 无穷小[[生成元]]：Koopman[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Lie算子]]，即在观测空间中，根据Koopman[[算子]][[迭代]]的一步过程可以由[[Lie算子]]作用很多步生成得到。详细的阐述见后文“[[Lie算子]]”章节。

 

 

Koopman[[算子]]与[[Perron-Frobenius算子]]<math>\mathcal{P}</math>互为伴随[[算子]]，即<math>\langle \mathcal{P}^t f, g \rangle = \langle f, \mathcal{K}^t g \rangle, \text{ 其中 } \langle f, g \rangle := \int_{\mathcal{X}} \bar{f}(\mathbf{x}) g(\mathbf{x}) dm.</math>详细的阐述见后文“[[Perron-Frobenius算子]]”章节。

 

# 无穷小[[生成元]]：

 

Koopman[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Lie算子]]，即在观测空间中，根据Koopman[[算子]][[迭代]]的一步过程可以由[[Lie算子]]作用很多步生成得到。详细的阐述见后文“[[Lie算子]]”章节。

=Koopman模式分解=

=Koopman模式分解=