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==特征函数与特征值==

==特征函数与特征值==

对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>定义如下：

对应于[[特征值]]<math> \lambda </math>的Koopman[[特征函数]]<math>\varphi(\mathbf{x})</math>定义如下：

其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

其中<math>\mu</math>是[[连续]]时间下的[[特征值]]。一般来说，即使[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>和[[动力学]]<math>\mathbf{F}(\mathbf{x})</math>是实值的，[[特征值]]和[[特征向量]]通常分别是复值的[[标量]]和函数。

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

如果我们考虑本身已经是线性的[[动力学]]，可以进一步说明线性时间离散[[动力学]]<math>\mathbf{x}_{n+1} = \mathbf{A}\mathbf{x}_n</math>的[[特征向量]]与<math>g_{n+1} = \mathcal{K}g_n</math>的[[特征函数]]之间的联系。给定矩阵<math>\mathbf{A}</math>的一个左[[特征向量]]<math>\boldsymbol{\xi}^\top \mathbf{A} = \lambda \boldsymbol{\xi}^\top</math>，我们可以构造一个对应的Koopman[[特征函数]]如下

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。

换句话说，<math>\mathbf{A}</math>的右[[特征向量]]在[[状态空间]]<math>\mathcal{X}</math>中给出了随时间不变的[[方向]]。而左[[特征向量]]则对应于Koopman[[特征函数]]，在观测空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中也同样对应于随时间不变的[[方向]]。

在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

在一般系统中，一组Koopman[[特征函数]]可以用来生成更多的[[特征函数]]。在[[离散时间]]系统中，我们可以发现，两个[[特征函数]]<math>\varphi_1(\mathbf{x})</math>和<math>\varphi_2(\mathbf{x})</math>的乘积同样是一个[[特征函数]]，

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

Nonlinear Sci. Numer. Simul., 100 (2021), art. 105833. (Cited on pp. 242, 276)</ref>。

观测函数可以由[[特征函数]]线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman[[算子]]作用下具有极为简单的演化关系：

观测函数可以由[[特征函数]]线性组合构成，即<math>g(\mathbf{x}) \in \mathrm{span}\{\varphi_k\}_{k=1}^K</math>，在Koopman[[算子]]作用下具有极为简单的演化关系：

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

其中<math>\mathbf{v}_j</math>被称为与[[特征函数]]<math>\varphi_j</math>相关联的第<math>j</math>个Koopman模态。

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

对于守恒[[动力系统]]，例如由[[哈密顿动力学]]支配的系统，Koopman[[算子]]在关于守恒[[测度]]下的平方可积函数空间<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>中是[[酉算子]]。因此，Koopman[[特征函数]]在守恒系统中构成一组正交归一基，并且可以通过[[投影]]直接计算Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>：

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。

其中<math>\langle \cdot, \cdot \rangle</math>是<math>\mathcal{G}(\mathcal{X})</math>空间上函数的标准[[内积]]。因此，观测函数展开可以看作是在[[特征函数]]坐标系下的一种基变换。

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在极限下[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。哈密顿系统的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其振荡振幅会不断变化，则往往会得到连续谱。

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在极限下[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。哈密顿系统的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其振荡振幅会不断变化，则往往会得到连续谱。

我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：

我们可以将观测量<math>\mathbf{g}</math>的[[动力学]]表示如下：