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→应用案例：标准映射
现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的[[特征值]]为1的[[特征函数]]<math> \varphi(x_0,y_0) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \sin(6\pi x_t)\,\sin(4\pi y_t)dt </math>在[[相空间]]上的分布，其中<math>x_t,y_t</math>分别是<math>x_0,y_0</math>根据[[动力学]]运行t步之后的状态。[[特征函数]]的分布如下图所示：
现在我们给出一个观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>，便可以画出根据傅立叶平均方法得到的[[特征值]]为1的[[特征函数]]<math> \varphi(x_0,y_0) = \lim_{T \to \infty} \frac{1}{T} \int_0^T \sin(6\pi x_t)\,\sin(4\pi y_t)dt </math>在[[相空间]]上的分布，其中<math>x_t,y_t</math>分别是<math>x_0,y_0</math>根据[[动力学]]运行t步之后的状态。[[特征函数]]的分布如下图所示：
[[文件:Standardmap.png|301x301像素|thumb|left|标准映射（Standard Map）的特征函数的分布，引自<ref name="brunton_2022" />]]
[[文件:Standardmap.png|301x301像素|thumb|left|标准映射（Standard Map）的特征函数的分布，引自<ref name="brunton_2022" />]]<br>
实际操作时，对于[[相空间]]上的每一个点，根据[[迭代]]方程演化任意步（比如1000步），然后对演化出来的每一个状态都根据上面给出的观测函数进行观测，最后对所有观测值取平均，得到的便是起始点处[[特征函数]]的取值（对应图上点的颜色），对应的[[特征值]]为1。理论上要演化无穷多步取平均，所以[[迭代]]步数越长越好。
实际操作时，对于[[相空间]]上的每一个点，根据[[迭代]]方程演化任意步（比如1000步），然后对演化出来的每一个状态都根据上面给出的观测函数进行观测，最后对所有观测值取平均，得到的便是起始点处[[特征函数]]的取值（对应图上点的颜色），对应的[[特征值]]为1。理论上要演化无穷多步取平均，所以[[迭代]]步数越长越好。