842
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第586行：
第586行： − + − + − + 第618行：
第618行： − Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该[[线性系统]]捕捉了弱[[非线性系统]]的[[动力学]]。然而，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />： +
无编辑摘要
==时间延迟DMD==
==时间延迟DMD==
DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，即存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建新的观测量，从而构建一个Koopman不变子空间。
DMD和eDMD算法基于全状态测量的可用性，而这些测量通常维数很高。然而，通常情况下只能获得[[系统]]的部分观测值，即存在隐藏变量或潜在变量。在这种情况下，可以使用[[系统]]的时间延迟测量值来构建新的观测量，从而构建一个Koopman不变子空间。和之前提及的算法一样，这里输入是已知的时间序列数据，输出是Koopman算子对应的线性迭代矩阵，只不过这里我们用时间延迟的变量作为扩展的观测函数。
将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是Hankel矩阵<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。
将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是Hankel矩阵<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。
[[文件:Hankel lorenz.png|500x500px|替代=]]
[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。|缩略图|600x600像素]]
时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。在这个例子中，我们有来自原始三态[[Lorenz系统]]的单个[[标量]]测量[[信号]]<math>x(t)</math>。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：
时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。其中输入的只有能观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：
:<math>
:<math>
</math>
</math>
这里的<math>\mathbf{A}</math>便是我们拟合输出的结果。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，该[[线性系统]]捕捉了弱[[非线性系统]]的[[动力学]]。然而，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其为 <math>\mathbf{V}</math> 中的前 <math>r</math> 个变量构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>r-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量 <math>v_r</math> 强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />：
:<math>
:<math>