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除了利用[[神经网络]]来学习Koopman嵌入之外，[[Koopman理论]]也被应用于理解[[神经网络]]<ref name=IM2020>I. Manojlovic\', M. Fonoberova, R. Mohr, A. Andrejc\v uk, Z. Drmac\v , Y. Kevrekidis, and I. Mezic\', Applications of Koopman Mode Analysis to Neural Networks, preprint, https://arxiv.org/abs/2006.11765, 2020. (Cited on p. 290)</ref><ref>A. S. Dogra and W. T. Redman, Optimizing neural networks via Koopman operator theory, in Advances in Neural Information Processing Systems, H. Larochelle, M. Ranzato, R. Hadsell, M. F. Balcan, and H. Lin, eds., Curran Associates, 2020, pp. 2087--2097. (Cited on p. 290)</ref>以及更广泛的算法<ref>F. Dietrich, T. N. Thiem, and I. G. Kevrekidis, On the Koopman operator of algorithms, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 19 (2020), pp. 860--885, https://doi.org/10.1137/19M1277059. (Cited on p. 290)</ref>。   

除了利用[[神经网络]]来学习Koopman嵌入之外，[[Koopman理论]]也被应用于理解[[神经网络]]<ref name=IM2020>I. Manojlovic\', M. Fonoberova, R. Mohr, A. Andrejc\v uk, Z. Drmac\v , Y. Kevrekidis, and I. Mezic\', Applications of Koopman Mode Analysis to Neural Networks, preprint, https://arxiv.org/abs/2006.11765, 2020. (Cited on p. 290)</ref><ref>A. S. Dogra and W. T. Redman, Optimizing neural networks via Koopman operator theory, in Advances in Neural Information Processing Systems, H. Larochelle, M. Ranzato, R. Hadsell, M. F. Balcan, and H. Lin, eds., Curran Associates, 2020, pp. 2087--2097. (Cited on p. 290)</ref>以及更广泛的算法<ref>F. Dietrich, T. N. Thiem, and I. G. Kevrekidis, On the Koopman operator of algorithms, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 19 (2020), pp. 860--885, https://doi.org/10.1137/19M1277059. (Cited on p. 290)</ref>。   

[[文件:Neuralkoop.png|无|两种用于Koopman嵌入的深度神经网络架构<ref name=IM2020>|缩略图|600x600像素]]<br>

[[文件:Neuralkoop.png|无|两种用于Koopman嵌入的深度神经网络架构<ref name=IM2020 />|缩略图|600x600像素]]<br>

目前主要有两种用于Koopman嵌入的[[深度神经网络]]架构，如上图所示。在第一种架构中，深度自动编码器架构提取几个关键的潜在变量 <math>\mathbf{z} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x})</math> 来参数化[[动力学]]。在第二种架构中，高维输入数据被提升到更高的维度，在该维度下演化近似为线性的。

目前主要有两种用于Koopman嵌入的[[深度神经网络]]架构，如上图所示。在第一种架构中，深度自动编码器架构提取几个关键的潜在变量 <math>\mathbf{z} = \boldsymbol{\varphi}(\mathbf{x})</math> 来参数化[[动力学]]。在第二种架构中，高维输入数据被提升到更高的维度，在该维度下演化近似为线性的。

将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是Hankel矩阵<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。   

将时间延迟坐标用作Koopman坐标系依赖于满足[[Takens嵌入定理]]的条件<ref name=takens_1981>F. Takens, Detecting strange attractors in turbulence, in Dynamical Systems and Turbulence, Lecture Notes in Math. 898, Springer, 1981, pp. 366--381.</ref>，这样才能使得延迟嵌入[[吸引子]]与原始全状态坐标中的[[吸引子]][[微分同胚]]。如此构建出来的观测空间中，描述系统演化的线性矩阵便是Hankel矩阵<ref name=brunton_2017>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, E. Kaiser, and J. N. Kutz, Chaos as an intermittently forced linear system, Nature Commun., 8 (2017), pp. 1--9. (Cited on pp. 257, 275, 284, 287, 288, 289, 294)</ref>。   

[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。其中输入是观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列，输出是回归拟合之后得到的线性微分方程组的系数矩阵。如果考虑存在控制变量的话，输出还有控制变量前的系数。<ref name=brunton_2017>|缩略图|600x600像素]]<br>

[[文件:Hankel lorenz.png||无|Lorenz系统作为案例进行时间延迟DMD的分析。其中输入是观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列，输出是回归拟合之后得到的线性微分方程组的系数矩阵。如果考虑存在控制变量的话，输出还有控制变量前的系数。<ref name=brunton_2017 />|缩略图|600x600像素]]<br>

时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。其中输入的只有能观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：   

时间延迟测量方案示意图如上图所示，以[[Lorenz系统]]为例，展示了将[[混沌]]分解为带有外力的[[线性系统]]。其中输入的只有能观测到的<math>x(t)</math>这一个维度的时间序列。可以从该[[标量]]测量的[[时间序列]]构造一个Hankel矩阵<math>\mathbf{H}</math>：