更改

===算法===

===算法===

一、计算无[[谱污染]][[特征值]]的算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：从切片数据中提取Koopman[[算子]]的准确[[特征值]]和[[特征函数]]，核心解决传统EDMD的[[谱污染]]问题。

残差DMD算法的核心思路是：通过数据驱动的方式求解近似Koopman矩阵<math>K_{\text{EDMD}}</math>，再基于此筛选出“靠谱”的Koopman候选特征对（<math>\lambda, g</math>）——筛选的核心依据就是前文定义的残差<math>\text{res}(\lambda, g)</math>，残差越小说明候选特征对越接近真实情况。

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（[[初始状态]]）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）

一、计算无[[谱污染]][[特征值]]的算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：近似得到的矩阵容易出现伪特征值，故此算法是用来判断矩阵的特征值是不是为特征值，解决传统EDMD的[[谱污染]]问题。

输出：<math>\{(\lambda_j, g_j) \mid res(\lambda_j, g_j) \leq \epsilon\}</math>（准确特征对）

输入：系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、观测函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>

 

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 求解广义[[特征值]]问题：<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。

# 求解广义[[特征值]]<math>(\Psi_X^* W \Psi_Y)g = \lambda(\Psi_X^* W \Psi_X)g</math>，得到候选[[特征值]]和[[特征函数]]。

# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量它们与真实Koopman[[算子]]的契合度）。

# 计算每个候选[[特征值]]的残差<math>res(\lambda_j, g_j)</math>（衡量它们与真实Koopman[[算子]]的契合度）。

# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。

# 丢弃残差大于<math>\epsilon</math>的[[伪特征值]]，保留满足精度的有效[[特征值]]。

二、ResDMD计算ε-[[伪谱]]估计算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：扩展上个算法的功能，计算Koopman[[算子]]的<math>\epsilon</math>-[[伪谱]]，弥补[[特征值]]无法反映的谱分布信息。

二、ResDMD计算ε-[[伪谱]]估计算法<ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：扩展上个算法的功能，计算Koopman[[算子]]的<math>\epsilon</math>-[[伪谱]]，弥补[[特征值]]无法反映的谱分布信息。

输入：<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>（[[初始状态]]）、<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>（下一时刻状态）、<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>（数值积分权重）、<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>（观测函数）、<math>\epsilon>0</math>（残差阈值）、<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>（待评估的谱区域网格点）

输入：系统变量的初始状态<math>\{x^{(j)}\}_{j=1}^M</math>、系统变量的下一时刻状态<math>\{y^{(j)}=F(x^{(j)})\}_{j=1}^M</math>、每个点对应的权重<math>\{w_j\}_{j=1}^M</math>、观测函数<math>\{\psi_j\}_{j=1}^{N_K}</math>、判定是否是真特征值的阈值<math>\epsilon>0</math>、谱区域网格点<math>\{z_1,...,z_k\} \subset \mathbb{C}</math>

 

 

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 计算三个核心矩阵：<math>\Psi_X^* W \Psi_X</math>、<math>\Psi_X^* W \Psi_Y</math>、<math>\Psi_Y^* W \Psi_Y</math>（<math>\Psi_X/\Psi_Y</math>为字典在<math>x/y</math>上的取值矩阵，<math>W</math>为权重对角矩阵）。

# 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义[[SVD]]问题）。

# 对每个网格点<math>z_j</math>，求解最小残差<math>\tau_j = \min_{g \in \mathbb{C}^{N_K}} res(z_j, \Psi g)</math>（转化为广义[[SVD]]问题）。

# 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-[[伪谱]]。

# 筛选出最小残差<math>\tau_j < \epsilon</math>的网格点，构成<math>\epsilon</math>-[[伪谱]]。

===例子===

===例子===