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# '''问题对象（Problem Definition）'''：研究的对象和结果

# '''问题对象（Problem Definition）'''：研究的对象和结果

#* 粗粒化对象：给定的微观马尔科夫链（状态空间、转移矩阵及其稳态分布等）。

#* 粗粒化对象：给定的微观马尔科夫链

#* 粗粒化结果：由粗粒化映射（或粗粒化算法）得到的宏观马尔科夫链，包括宏观状态空间、宏观转移矩阵以及相应的稳态分布。

#* 粗粒化结果：由粗粒化算法得到的宏观马尔科夫链，包括宏观状态空间、宏观转移矩阵以及相应的稳态分布。

# '''要求/约束（Requirements & Constraints）'''：要求一个具体粗粒化方案（必须或至少近似）满足的条件，或是天然具备的某些 结构 与 理论特征

# '''要求/约束（Requirements & Constraints）'''：要求一个具体粗粒化方案（必须或至少近似）满足的条件，或是天然具备的某些 结构 与 理论特征

#* 宏观过程是（近似）马尔科夫的：

#* '''宏观过程是（近似）马尔科夫的'''

#** 即存在一个宏观转移算子，使得在粗粒化尺度上可以用一阶马尔科夫过程描述宏观动力学

#* '''粗粒化与动力学算子可交换'''，即 <math> \Phi P' = P \Phi </math>

#* 粗粒化与动力学算子尽可能可交换，即 <math> \Phi P' = P \Phi </math>

#** 在严格可交换的极限下，可以推导出'''成块性、因果态'''等结构性条件。

#** 在严格可交换的极限下，可以推导出成块性、因果态等结构性条件。

#** 在一般近似情形下，可以通过多种指标来量化 宏观和微观动力学的演化是否一致，例如：

#** 在一般近似情形下，可以通过多种指标来量化这一“动力学一致性”的好坏，例如：

#**# 算子层面，即 <math> \Phi P' </math> 和 <math> P \Phi </math> 之间的误差

#**# 算子层面，即 即 <math> \Phi P' </math> 和 <math> P \Phi </math> 之间的误差，

#**# '''一致性指标'''，包括基于统计物理模型的配分函数差异、在宏观和微观过程进行随机游走的权重差异等

#**# 一致性指标，包括基于统计物理模型的配分函数差异、在宏观和微观过程进行随机游走的权重差异

#**# 将宏观动力学通过逆粗粒化算子还原到微观空间，与真实微观动力学比较所得的预测误差等

#**# 将宏观动力学通过逆粗粒化算子还原到微观空间，与真实微观动力学比较所得的预测误差等。

#* '''计算力学中的因果态结构'''：

#* 因果态结构、ϵ-机器、υ-机器：

#** 要求粗粒化后的宏观状态尽量接近因果态划分，从而实现最大可预测性和最小冗余

#** 要求在给定时间尺度或跨尺度上，粗粒化后的宏观状态尽量接近因果态划分，从而在该尺度上实现最大可预测性和最小冗余。

#** 对应的单尺度和跨尺度因果态，应在给定粗粒化方案下具有良好的 '''尺度闭合性'''（因果 / 信息 / 计算闭合）：

#** 对应的单尺度因果态和 ϵ-机器、跨尺度因果态和 υ-机器，应在给定粗粒化方案下具有良好的尺度闭合性（因果 / 信息 / 计算闭合）：

#*** 因果闭合：宏观层面的因果结构在该尺度上是自洽和封闭的，无需回到微观层次来解释宏观演化

#*** 因果闭合：宏观层面的因果结构在该尺度上是自洽和封闭的，无需诉诸更微观层次来解释宏观演化。

#*** 信息闭合：宏观状态包含预测自身未来所需的全部信息，微观状态不会再提供额外的预测信息

#*** 信息闭合：宏观状态包含预测自身未来所需的全部信息，微观状态不会再提供额外可用的预测信息。

#*** 计算闭合：宏观动力学更新可以完全在宏观层面上进行计算，无需显式访问微观状态

#*** 计算闭合：宏观动力学更新可以完全在宏观层面上进行计算，无需显式访问微观状态。

#* '''稳态下的随机动力学吸引子结构'''：

#* 稳态下的吸引子分解、瞬时态 / 常返态、周期结构：

#** 要求粗粒化在稳态分布下尽量尊重原系统的随机吸引子结构，包括将瞬时态（transient）、常返态（recurrent）、周期类等。

#** 要求粗粒化在稳态分布下尽量尊重原系统的随机吸引子结构，将瞬时态（transient）、常返态（recurrent）、周期类等自然分解尽可能映射为清晰的宏观结构。

# '''目标（Objectives）'''：在允许的粗粒化方案集合中，想“最大化 / 最小化”的目标

# '''目标（Objectives）'''：在允许的粗粒化方案集合中，想“最大化 / 最小化”的目标

#* 最大化预测性

#* 最大化预测性