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第1行： + − − =简介= − − 一维[[动力学]]主要的研究对象是一阶自治[[微分方程]]<math>\dot{x}=f(x)</math>，及其解的长期行为。由于模型形式简单，我们可以绘制 <math>f(x)</math> 的函数曲线，即'''相图'''，横坐标为 <math>x</math>，纵坐标为 <math>\dot{x}</math>。鉴于此，我们可以将系统视为在一条直线（[[相空间]]）上流动的流体，函数定义了该流体的速度场（[[向量场]]）。通过该速度场我们可以立即看出系统的稳定和不稳定的[[不动点]]，并立即判定处在任意位置为[[初始状态]]的解的行为。此外，线性稳定性分析和系统的[[势函数]]也可以用来分析系统的[[不动点]]，要得到并计算系统的演化轨道，可以使用不同类型的数值积分方法求解系统的演化[[微分方程]]。该系统虽然简单，但其连续或离散的形式在各领域中均有广泛应用，如[[企业增长模型]]、[[Logistic 映射]]、[[RC 电路]]等等。 第17行：
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一维[[动力学]]主要的研究对象是一阶自治[[微分方程]]<math>\dot{x}=f(x)</math>，及其解的长期行为。由于模型形式简单，我们可以绘制 <math>f(x)</math> 的函数曲线，即'''相图'''，横坐标为 <math>x</math>，纵坐标为 <math>\dot{x}</math>。鉴于此，我们可以将系统视为在一条直线（[[相空间]]）上流动的流体，函数定义了该流体的速度场（[[向量场]]）。通过该速度场我们可以立即看出系统的稳定和不稳定的[[不动点]]，并立即判定处在任意位置为[[初始状态]]的解的行为。此外，线性稳定性分析和系统的[[势函数]]也可以用来分析系统的[[不动点]]，要得到并计算系统的演化轨道，可以使用不同类型的数值积分方法求解系统的演化[[微分方程]]。该系统虽然简单，但其连续或离散的形式在各领域中均有广泛应用，如[[企业增长模型]]、[[Logistic 映射]]、[[RC 电路]]等等。
=历史=
=历史=
除连续时间模型外，一维离散[[动力系统]]作为相关研究方向逐渐发展。典型例子包括 [[逻辑斯谛映射]]
除连续时间模型外，一维离散[[动力系统]]作为相关研究方向逐渐发展。典型例子包括 [[逻辑斯谛映射]]
<math>x_{n+1} = r x_n(1 - x_n)</math>，
<math>x_{n+1} = r x_n(1 - x_n)</math>，
其在参数变化下可表现出倍周期分岔与[[混沌]]行为<ref name="May1976">May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. ''Nature'', 261(5560), 459–467.</ref>。 尽管离散系统与连续一维动力系统在数学结构与[[动力学]]性质上存在显著差异，但二者在[[分岔]][[机制]]、[[非线性]]分析思想以及复杂行为的产生方式上具有重要联系，离散一维系统通常被视为连续动力系统理论的补充研究方向。<ref name="Devaney1986">Devaney, R. L. (1986). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.'' 2nd ed. Addison-Wesley.</ref>
其在参数变化下可表现出倍周期分岔与[[混沌]]行为<ref name="May1976">May, R. M. (1976). Simple mathematical models with very complicated dynamics. ''Nature'', 261(5560), 459–467.</ref>。 尽管离散系统与连续一维动力系统在数学结构与[[动力学]]性质上存在显著差异，但二者在[[分岔]][[机制]]、[[非线性]]分析思想以及复杂行为的产生方式上具有重要联系，离散一维系统通常被视为连续动力系统理论的补充研究方向<ref name="Devaney1986">Devaney, R. L. (1986). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems.'' 2nd ed. Addison-Wesley.</ref>。
在现代[[动力系统]]理论中，一维连续动力系统被视为理解[[非线性动力学]]与定性分析方法的基础。其简单的[[相空间]]结构使系统行为能够被完整刻画，为研究稳定性、[[分岔]]以及更高维[[复杂系统]]提供了直观的理论起点，并在数学教育、物理建模和生物动力学等领域中被广泛作为[[非线性系统]]分析的典型示例<ref name="Strogatz1994" /><ref name="Katok1995" />。
在现代[[动力系统]]理论中，一维连续动力系统被视为理解[[非线性动力学]]与定性分析方法的基础。其简单的[[相空间]]结构使系统行为能够被完整刻画，为研究稳定性、[[分岔]]以及更高维[[复杂系统]]提供了直观的理论起点，并在数学教育、物理建模和生物动力学等领域中被广泛作为[[非线性系统]]分析的典型示例<ref name="Strogatz1994" /><ref name="Katok1995" />。
在一维[[动力系统]]的研究中，几何思维构成了理解系统长期行为的核心工具之一。一维连续[[动力系统]]通常写为自治[[常微分方程]]
在一维[[动力系统]]的研究中，几何思维构成了理解系统长期行为的核心工具之一。一维连续[[动力系统]]通常写为自治[[常微分方程]]
{{NumBlk|:|
<math display="block">
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\dot{x} = f(x),
\dot{x} = f(x),
</math>
</math>
|{{EquationRef|1}}}}
其中 <math>x</math> 表示系统的状态变量，<math>t</math> 为时间参数，<math>f(x)</math> 是定义在实数轴上的标量函数。该方程描述了[[系统状态]]在一维[[相空间]]（即实数轴）中的时间演化规律，是一维[[动力系统]]定性分析的基本出发点<ref name="Strogatz1994" />。由于系统是自治的，时间本身并不作为相空间坐标出现，而仅起到参数的作用，这使得系统的几何结构完全由函数 <math>f(x)</math> 决定。
其中 <math>x</math> 表示系统的状态变量，<math>t</math> 为时间参数，<math>f(x)</math> 是定义在实数轴上的标量函数。该方程描述了[[系统状态]]在一维[[相空间]]（即实数轴）中的时间演化规律，是一维[[动力系统]]定性分析的基本出发点<ref name="Strogatz1994" />。由于系统是自治的，时间本身并不作为相空间坐标出现，而仅起到参数的作用，这使得系统的几何结构完全由函数 <math>f(x)</math> 决定。
''若<math>f(x)</math>及其导数<math>f'(x)</math> 在包含初始点<math>x_0</math>的开区间上连续，则初值问题''
''若<math>f(x)</math>及其导数<math>f'(x)</math> 在包含初始点<math>x_0</math>的开区间上连续，则初值问题''
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<math>\left\{\begin{align}\dot{x} &= f(x), \\x(0) &= x_0\end{align}\right.</math>
<math>\left\{\begin{align}\dot{x} &= f(x), \\x(0) &= x_0\end{align}\right.</math>
|{{EquationRef|2}}}}
''的解<math>x(t)</math>在<math>t=0</math>的某个邻域<math>(-\tau, \tau)</math>内存在且唯一。''
''的解<math>x(t)</math>在<math>t=0</math>的某个邻域<math>(-\tau, \tau)</math>内存在且唯一。''
在最常见的连续时间形式中，逻辑斯谛方程写为
在最常见的连续时间形式中，逻辑斯谛方程写为
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<math display="block">
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)
\frac{\mathrm{d} N}{\mathrm{d} t} = rN\left(1 - \frac{N}{K}\right)
</math>
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
其中 <math>N(t)</math> 表示时间 <math>t</math> 的种群数量，<math>r</math> 为内禀增长率，<math>K</math> 为环境承载量。方程右端由两部分构成：<math>rN</math> 对应“数量越多增长越快”的[[自催化]]式增长趋势，而因子 <math>1-\frac{N}{K}</math> 则体现资源限制带来的[[负反馈]]，使得当 <math>N</math> 接近 <math>K</math> 时增长率趋于零，从而自然产生增长饱和并形成 S 型增长曲线<ref name="Murray2002" />。系统的相图如下图所示：原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 <math>N=K</math>，即为环境承载量.
其中 <math>N(t)</math> 表示时间 <math>t</math> 的种群数量，<math>r</math> 为内禀增长率，<math>K</math> 为环境承载量。方程右端由两部分构成：<math>rN</math> 对应“数量越多增长越快”的[[自催化]]式增长趋势，而因子 <math>1-\frac{N}{K}</math> 则体现资源限制带来的[[负反馈]]，使得当 <math>N</math> 接近 <math>K</math> 时增长率趋于零，从而自然产生增长饱和并形成 S 型增长曲线<ref name="Murray2002" />。系统的相图如下图所示：原点是系统的不稳定不动点。系统有一个稳定不动点 <math>N=K</math>，即为环境承载量.
在给定初值条件下，该方程可写出解析解
在给定初值条件下，该方程可写出解析解
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N(t)=\frac{K}{1 + A e^{-rt}},
N(t)=\frac{K}{1 + A e^{-rt}},
</math>
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|{{EquationRef|4}}}}
其中常数 <math>A</math> 由初始种群数量决定。该解的曲线如下图所示，直观地展示了系统从早期快速增长到后期逐渐稳定在 <math>K</math> 附近的过渡过程。
其中常数 <math>A</math> 由初始种群数量决定。该解的曲线如下图所示，直观地展示了系统从早期快速增长到后期逐渐稳定在 <math>K</math> 附近的过渡过程。
除连续时间形式外，[[逻辑斯谛方程]]在[[离散时间]]建模中也有一个极其重要的对应物：'''[[逻辑斯谛映射]]'''（logistic map）
除连续时间形式外，[[逻辑斯谛方程]]在[[离散时间]]建模中也有一个极其重要的对应物：'''[[逻辑斯谛映射]]'''（logistic map）
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x_{n+1} = r x_n (1 - x_n),
x_{n+1} = r x_n (1 - x_n),
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</math>
|{{EquationRef|5}}}}
该映射在参数变化下可呈现从稳定定点到[[周期轨道]]、再到倍周期[[分岔]]与[[混沌]]的丰富[[动力学]]行为，因此常被作为一维离散[[动力系统]]与[[混沌理论]]的经典示例<ref name="Edelstein2005">Edelstein-Keshet, L. (2005). ''Mathematical Models in Biology''. SIAM.</ref>。
该映射在参数变化下可呈现从稳定定点到[[周期轨道]]、再到倍周期[[分岔]]与[[混沌]]的丰富[[动力学]]行为，因此常被作为一维离散[[动力系统]]与[[混沌理论]]的经典示例<ref name="Edelstein2005">Edelstein-Keshet, L. (2005). ''Mathematical Models in Biology''. SIAM.</ref>。
考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。根据[[基尔霍夫定律]]，可得下面的方程
考虑下图所示的 RC 电路，电阻大小为 <math>R</math>，电容量为 <math>C</math>。记左端输入电压为 <math>V_{\text{in}}</math>，电容器两端的电压 <math>V_{C}</math> 为输出电压，电路中的电流为 <math>I</math>。根据[[基尔霍夫定律]]，可得下面的方程
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<math>
<math>
\left\{
\left\{
\right.
\right.
</math>
</math>
|{{EquationRef|6}}}}
即
即
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}.
V_{\text{in}} = RI + \frac{1}{C}\int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t}.
</math>
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|{{EquationRef|1}}}}
|{{EquationRef|7}}}}
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|none|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容值量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
[[文件:RC_Series_Filter_(with_V&I_Labels).png|300x500像素|none|缩略图|串联RC电路，左侧为输入电压，电阻值为 R，电容值量为 C，输出电压为电容两端的电压。引自<ref name='wikipedia rc circuit'>https://en.wikipedia.org/wiki/RC_circuit</ref>]]
V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C}
V_{0} = RI + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} {I} \, \mathrm d{t} \iff V_{0} = R \dot{Q} + \frac{Q}{C}
</math>
</math>
|{{EquationRef|2}}}}
|{{EquationRef|8}}}}
===模型的解===
===模型的解===
该方程的通解为
该方程的通解为
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<math>
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC},
Q(t) = V_{0}C + Ke^{-t/RC},
</math>
</math>
|{{EquationRef|9}}}}
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即
如果要求初始时刻电容器上电荷为零，即 <math>Q(0) = 0</math>，则有 <math>K = -V_{0}C</math>，即
{{NumBlk|:|
<math>
<math>
Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC}),
Q(t) = V_{0}C(1 - e^{-t/RC}),
</math>
</math>
|{{EquationRef|10}}}}
相应地，也能得到电容器的[[稳态电压]] <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}C</math>，输出电压随时间变化规律为
相应地，也能得到电容器的[[稳态电压]] <math>V_{C}(\infty)</math> 为 <math>V_{0}C</math>，输出电压随时间变化规律为
<math>
<math>
===相图视角===
===相图视角===
公式{{EquationNote|(2)}}对应着写成下面的形式：
公式{{EquationNote|(8)}}对应着写成下面的形式：
<math>
<math>
f(Q) = \dot{Q} = \frac{V_{0}}{R} - \frac{Q}{RC} = -\frac{1}{RC} \cdot Q + \frac{V_{0}}{R},
f(Q) = \dot{Q} = \frac{V_{0}}{R} - \frac{Q}{RC} = -\frac{1}{RC} \cdot Q + \frac{V_{0}}{R},
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
|{{EquationRef|3}}}}
|{{EquationRef|11}}}}
其中：
其中：
* <math>A</math>是企业的资产
* <math>A</math>是企业的资产
=== 解的形式 ===
=== 解的形式 ===
上式方程{{EquationNote|(3)}}直接积分，难以给出资产随时间的显式解析表达式，但可以给出企业资产生长轨迹的隐式解
上式方程{{EquationNote|(11)}}直接积分，难以给出资产随时间的显式解析表达式，但可以给出企业资产生长轨迹的隐式解
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
\end{aligned}
\end{aligned}
</math>
</math>
|{{EquationRef|4}}}}
|{{EquationRef|12}}}}
上式{{EquationNote|(4)}}被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。下图展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在[[美国]]、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合，详见下图。
上式{{EquationNote|(12)}}被称为企业通用生产曲线（general growth curve），其中，<math>t</math>是企业的市场年龄。下图展示了个体企业时间轨迹在平均尺度上和模型预测的吻合情况，结果显示，在[[美国]]、中国和欧洲的上市企业数据集中，模型表现和数据吻合，详见下图。
[[文件:企业生长曲线.png|600px|none|缩略图|企业生长曲线在中国、美国、欧洲的上市企业数据集上的拟合结果，可见与企业增长模型的解与实际数据集吻合。]]
[[文件:企业生长曲线.png|600px|none|缩略图|企业生长曲线在中国、美国、欧洲的上市企业数据集上的拟合结果，可见与企业增长模型的解与实际数据集吻合。]]
当<math>\beta_L \approx 1</math>的时候，可以得到一个极佳的近似，此时企业生长方程的解是一个随时间变化的[[幂律]]形式：
当<math>\beta_L \approx 1</math>的时候，可以得到一个极佳的近似，此时企业生长方程的解是一个随时间变化的[[幂律]]形式：
{{NumBlk|:|
<math>
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A(t) \approx c t^{\gamma}
A(t) \approx c t^{\gamma}
</math>
</math>
|{{EquationRef|13}}}}
其中
其中