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第49行： − + − + + − + − 在数学建模中，[[无量纲量]]（dimensionless numbers）的发现往往会对复杂问题的求解提供全新的思路，因为这些无量纲量的寻找可能揭示不同系统在本质上的相似性。系统性的寻找无量纲量的方法称为[[量纲分析]]。同时，[[量纲分析]]也与[[规模法则]]或[[规模分析]]方法存在着紧密的联系+ − 在规模法则的一般形式中：+ − :<math>+ − y = k x^\alpha − </math> − − 指数 [math]\alpha[/math] 决定了量随尺度的非线性变化。许多自然规律不仅表现为这种幂律关系，还具有“尺度不变性”：即规律在不同单位或尺度下保持相同形式。这时就需要借助无量纲数来表达。从广义上来看，无量纲常数其实就相当于幂指数为0的特殊幂律关系，因此，围绕着无量纲量发展起来的[[量纲分析]]可以看作是规模分析方法的泛化。 − − 无量纲量（dimensionless numbers）是由若干物理量组合成的纯数，它不依赖单位选择，能揭示不同系统在本质上的相似性。圆周率 [math]\pi = \frac{C}{D}[/math] 就是最简单的例子（这里C是周长，D是圆的直径）。工程与物理中更典型的是弗劳德数 − :<math>+ − Fr = \frac{v}{\sqrt{gL}} − </math> − 它比较了惯性力与重力的相对大小，决定了船只、波浪等运动的相似性。瑞利勋爵在 19 世纪提出“相似法则”时强调，所有物理规律必须能写成无量纲数之间的关系：+ − :<math>+ − f(\Pi_1, \Pi_2, \dots, \Pi_n) = 0+ − </math> − 这实际上是规模法则在数学上的推广形式，保证规律在不同尺度和单位下都成立。+ − '''应用实例'''：瑞利散射表明光的散射强度与波长呈反比四次方 [math]I \propto \frac{1}{\lambda^4}[/math]，因此蓝光被散射得最强，解释了天空为何是蓝色。这种推导完全依赖于无量纲分析，而背后体现的正是幂律缩放。+
→尺度不变量
[[量纲分析]]的历史大致经历了从“[[量纲一致性]]直觉”到“系统方法”的演进：17世纪[[经典力学]]兴起后，人们逐渐形成方程两边必须同类量的观念；19世纪[[傅里叶]]在[[热学]]中明确强调用[[量纲一致性]]检验推导，随后[[麦克斯韦]]等推动以基本单位幂次表示物理量、[[瑞利]]常用[[幂律]]假设做尺度推断；1914年Buckingham提出Π定理<ref name='pi_theorem'>{{cite journal|author=E. Buckingham|title=On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations|year=1914|journal=Physics Reviews|volume=4|issue=4|page=345-376}}</ref>，把[[量纲分析]]系统化为用[[无量纲群]]刻画物理规律的方法；20世纪在[[流体力学]]、传热与工程缩比实验中随着[[雷诺数]]、[[弗劳德数]]等[[无量纲数]]的广泛应用而成熟，并在现代与[[无量纲]]化和[[尺度分析]]结合，用于建模、[[相似理论]]与数量级估算<ref name='dimensional'>{{cite book|author=P W Bridgman|title=Dimensional Analysis|year=1922|publisher=Kessinger Publishing}}</ref>。
[[量纲分析]]的历史大致经历了从“[[量纲一致性]]直觉”到“系统方法”的演进：17世纪[[经典力学]]兴起后，人们逐渐形成方程两边必须同类量的观念；19世纪[[傅里叶]]在[[热学]]中明确强调用[[量纲一致性]]检验推导，随后[[麦克斯韦]]等推动以基本单位幂次表示物理量、[[瑞利]]常用[[幂律]]假设做尺度推断；1914年Buckingham提出Π定理<ref name='pi_theorem'>{{cite journal|author=E. Buckingham|title=On Physically Similar Systems; Illustrations of the Use of Dimensional Equations|year=1914|journal=Physics Reviews|volume=4|issue=4|page=345-376}}</ref>，把[[量纲分析]]系统化为用[[无量纲群]]刻画物理规律的方法；20世纪在[[流体力学]]、传热与工程缩比实验中随着[[雷诺数]]、[[弗劳德数]]等[[无量纲数]]的广泛应用而成熟，并在现代与[[无量纲]]化和[[尺度分析]]结合，用于建模、[[相似理论]]与数量级估算<ref name='dimensional'>{{cite book|author=P W Bridgman|title=Dimensional Analysis|year=1922|publisher=Kessinger Publishing}}</ref>。
====尺度不变量====
====寻找无量纲量====
根据[[量纲分析]]中Π定理<ref name='pi_theorem'/>的基本思想，我们可以用量纲约束来构造[[无量纲量]]并把原问题[[降维]]。根据Buckingham的[math]\Pi[/math]定理：若有[math]n[/math] 个变量、涉及[math]k[/math] 个独立基本量纲，则可构造[math]n-k[/math]个独立无量纲群 [math]\Pi_i[/math]，并把关系写成:
根据[[量纲分析]]中Buckingham的[[[math]\Pi[/math]定理]]<ref name='pi_theorem'/>的基本思想，我们可以用量纲约束来构造[[无量纲量]]（dimensionless numbers）并把原问题[[降维]]。具体的，若有[math]n[/math]个变量、涉及[math]k[/math]个独立基本量纲，则可构造[math]n-k[/math]个独立无量纲量[math]\Pi_i[/math]，使得它们满足如下的约束方程：
:<math>
:<math>
F(\Pi_1,\dots,\Pi_{n-k})=0.
F(\Pi_1,\dots,\Pi_{n-k})=0.
</math>
</math>
其中[math]F[/math]是对这[math]n-k[/math]个无量纲量的约束。无量纲量[math]\Pi_i[/math]（dimensionless numbers）是由若干物理量组合成的纯数，它不依赖单位选择，能揭示不同系统在本质上的相似性。
[[尺度不变量]]（scale invariants）是指在“缩放变换”（把长度、时间、速度等按比例放大/缩小）下保持不变的组合。多数工程里常说的“相似准则”本质上就是：两系统若关键**无量纲群相同**，就具有相似性；这些无量纲群通常也是相应缩放群下的**不变量**。
例如，圆周率 [math]\pi = \frac{C}{D}[/math] 就是最简单的无量纲量的例子（这里C是周长，D是圆的直径）。
工程与物理中更典型的无量纲量是弗劳德数（Froude number）:[math]Fr = v\sqrt{gL}[/math]，这里[math]v[/math]为船体运动的特征速度，[math]g[/math]为重力加速度，[math]L[/math]为船体的线性尺度。这个无量纲量比较了惯性力与重力的相对大小，决定了船只、波浪等运动的相似性。
在数学建模中，这种[[无量纲量]]的发现往往会对复杂问题的求解提供全新的思路，因为这些无量纲量的寻找可能揭示不同系统在本质上的相似性。系统性的寻找无量纲量的方法称为[[量纲分析]]。
====规模不变量====
[[规模不变量]]（scale invariants）或称[[标度不变量]]、[[尺度不变量]]，是指在“缩放变换”（把长度、时间、速度等按比例放大/缩小）下保持不变的量。因为缩放会改变有量纲量的数值，因此一个量若要保持在缩放下不变，就必须是无量纲量。但是，反过来无量纲量不一定是规模不变量。
根据公式{{EquationNote|1}}，当幂指数[math]\alpha=0[/math]的时候，[math]Y[/math]就是一个与规模[math]X[/math]无关的[[规模不变量]]。由此可见，规模法则{{EquationNote|1}}式是蕴含了规模不变量的。著名的规模不变量包括[[流体力学]]中的[[雷诺数]]，再如[[代谢生态学]]中，[[哺乳动物]]一生的心跳次数也是不随生物体体重规模而变的量。
====量纲分析与标度分析====
量纲分析与标度分析（Scaling Analysis）是“相关但层级不同”的两类分析方法。量纲分析方法通过把问题构造为[[无量纲群]]，从而能够告诉我们“最少需要哪些无量纲量来描述问题”，但通常不能给出这些变量之间的具体函数关系。
标度分析的作用则是在给定方程/机制后，通过数量级估算出哪些项是主导，它们如何随尺度而变化，从而得到幂律关系（即规模法则）、相似解的指数、边界层的厚度等近似规律。
因此，通常在面临具体问题的时候，我们先根据量纲分析把问题无量纲化，然后再利用标度分析方法找到各个变量的幂律关系。
=规模法则基本介绍=
=规模法则基本介绍=