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'''定义（观测函数字典）：'''给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
'''定义（观测函数字典）：'''给定一组观测函数字典<math>\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\} \subset \mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>(如前文，<math>\mathcal{G}(\mathcal{X}) </math>为<math>\mathcal{K}</math>的定义域），比如<math>x^2, \cos(x), e^x...</math>，可以看作是构建Koopman不变子空间的一组基函数。子空间可以写作<math>V_{N} = \text{span}\{\psi_1, \dots, \psi_{N}\}</math>。我们的目标是在该子空间上近似Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>的作用。
当我们讨论的是多维向量时，字典函数的映射可以写作<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N}</math>，则子空间<math>V_{N}</math>中的任意观测函数g可表示为字典函数的线性组合，即<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>，其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N}</math>为系数[[向量]]。从字典函数与观测函数两个概念的关系中不难看出，字典函数本身也是特殊的一组观测函数，所以它也满足<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：
当我们讨论的是多维向量时，字典函数的映射可以写作<math>\Psi(\boldsymbol{x}) = [\psi_1(\boldsymbol{x}), \dots, \psi_{N}(\boldsymbol{x})] \in \mathbb{C}^{1 \times N}</math>，则子空间<math>V_{N}</math>中的任意观测函数<math>g</math>可表示为字典函数的线性组合，即<math>g(\boldsymbol{x}) = \sum_{j=1}^{N} \psi_j(\boldsymbol{x}) g_j = \Psi(\boldsymbol{x}) \boldsymbol{g}</math>，其中<math>\boldsymbol{g} \in \mathbb{C}^{N}</math>为系数[[向量]]。从字典函数与观测函数两个概念的关系中不难看出，字典函数本身也是特殊的一组观测函数，所以它也满足<ref name=Colbrook_2023 /><ref name=Colbrook_2024>Colbrook, M. J. & Townsend, A. Rigorous data‐driven computation of spectral properties of koopman operators for dynamical systems. Commun. Pure Appl. Math. 77, 221–283 (2024).</ref>：
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N.</math>
:<math>[\mathcal{K}\psi_j](\boldsymbol{x}) = \psi_j(F(\boldsymbol{x})) \approx \sum_{i=1}^{N} K_{ij} \psi_i(\boldsymbol{x}), \quad 1 \leq j \leq N.</math>
'''定义（残差项）：'''基于这个近似，我们可以把Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>对任意观测函数 g 的作用拆分成两部分：一部分精确对应着Koopman算子原始的定义，另一部分是近似带来的误差项（残差）<math>r(g, \boldsymbol{x})</math>，即为：
'''定义（残差项）：'''基于这个近似，我们可以把Koopman算子<math>\mathcal{K}</math>对任意观测函数<math>g</math>的作用拆分成两部分：一部分精确对应着Koopman算子原始的定义，另一部分是近似带来的误差项（残差）<math>r(g, \boldsymbol{x})</math>，即为：
:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>
:<math>[\mathcal{K}g](\boldsymbol{x}) = \Psi(F(\boldsymbol{x})) \boldsymbol{g} = \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g}) + \underbrace{\sum_{j=1}^{N} \psi_j(F(\boldsymbol{x})) g_j - \Psi(\boldsymbol{x}) (K \boldsymbol{g})}_{r(g, \boldsymbol{x})}.</math>