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已知观测函数字典和<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，那么字典观测空间中，数据切片矩阵为<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>。

已知观测函数字典和<math>\boldsymbol{y}^{(j)} = F(\boldsymbol{x}^{(j)}) </math>，那么字典观测空间中，数据切片矩阵为<math>\displaystyle{ \Psi_X = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{x}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{x}^{(M)}) \end{pmatrix}, \quad \Psi_Y = \begin{pmatrix} \Psi(\boldsymbol{y}^{(1)}) \\ \vdots \\ \Psi(\boldsymbol{y}^{(M)}) \end{pmatrix} }</math>。

为了要定义和计算残差<math>res(\lambda_j, \varphi_j)</math>，我们需要先定义伪特征值和伪谱。

为了要定义和计算残差<math>\text{res}(\lambda_j, \varphi_j)</math>，我们需要先定义伪特征值和伪谱。

'''定义（算子的伪特征值）：'''计算伪特征值，其实就是在给定一个特征值时，我们可以算出在多大程度上该特征值会被视为是虚假的特征值。当人为给定阈值<math>\epsilon</math>时，满足差距在阈值以内的特征值可被认为是真实的特征值。而这样的特征值的集合便叫做<math>\epsilon</math>-伪谱。其定义如下<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref>：   

'''定义（算子的伪特征值）：'''计算伪特征值，其实就是在给定一个特征值时，我们可以算出在多大程度上该特征值会被视为是虚假的特征值。当人为给定阈值<math>\epsilon</math>时，满足差距在阈值以内的特征值可被认为是真实的特征值。而这样的特征值的集合便叫做<math>\epsilon</math>-伪谱。其定义如下<ref name=Colbrook_2023>Colbrook, M. J., Ayton, L. J. & Szőke, M. Residual dynamic mode decomposition: Robust and verified koopmanism. J. Fluid Mech. 955, A21 (2023).</ref>：