更改

另外在实践中，对于具有混沌性质的动力系统还需要注意动力学封闭性的问题，仅靠升维可能是不够的。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>p-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />。  

另外在实践中，对于具有混沌性质的动力系统还需要注意动力学封闭性的问题，仅靠升维可能是不够的。Champion, Brunton 和 Kutz等人表明<ref name=champion_2019>K. P. Champion, S. L. Brunton, and J. N. Kutz, Discovery of nonlinear multiscale systems: Sampling strategies and embeddings, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 18 (2019), pp. 312--333, https://doi.org/10.1137/18M1188227. (Cited on pp. 288, 289)</ref>，对于[[混沌系统]]，即使有近似Koopman不变的测量系统，在识别封闭的线性模型方面仍存在挑战。无论多么高维的线性模型，都无法捕捉多个[[不动点]]或具有正[[Lyapunov指数]]的[[混沌]]所特有的不可预测行为<ref name=Brunton_2016>S. L. Brunton, B. W. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz, Koopman invariant subspaces and finite linear representations of nonlinear dynamical systems for control, PLoS ONE, 11 (2016), art. e0150171. (Cited on pp. 234, 247, 248, 254, 284, 285, 286, 288, 295, 308, 309, 312, 318)</ref>。与其构建一个封闭的线性模型，不如在前 <math>p-1</math> 个变量上构建一个线性模型，并将最后一个变量强加为一个外力项<ref name=brunton_2017 />。  

如上图所示，在所探索的[[Lorenz系统]]示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，也就意味着显著存在罕见的波动事件。这种外力变量的罕见变化对应于驱动 Lorenz 系统中的波瓣切换,如图中左下角红色标注的波峰所示。这种分析架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图分析 (Hankel alternative view of the Koopman，[[HAVOK]])<ref name=brunton_2017 />。

如上。在所有探索的混沌示例中<ref name=brunton_2017 />，前<math>r-1</math> 项的线性模型是准确的，而没有线性模型能表示 <math>v_r</math>。相反，<math>v_r</math> 应该是线性动力学的外来输入。<math>v_r(t)</math> 的统计数据是非高斯的，具有长尾，也就意味着显著存在罕见的波动事件。这种外力变量的罕见变化对应于驱动 Lorenz 系统中的波瓣切换,如图中左下角红色标注的波峰所示。这种分析架构被称为 Koopman 的 Hankel 替代视图分析 (Hankel alternative view of the Koopman，[[HAVOK]])<ref name=brunton_2017 />。

Hankel矩阵在[[系统]]辨识中已使用了几十年，例如在[[ERA]]<ref>J. N. Juang and R. S. Pappa, An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction, J. Guidance Control Dynam., 8 (1985), pp. 620--627. (Cited on pp. 262, 289, 303)</ref>和奇异谱分析(singular spectrum analysis，SSA)<ref>R. W. Brockett, Optimal control of the Liouville equation, in Proceedings of the International Conference on Complex Geometry and Related Fields, AMS/IP Stud. Adv. Math. 39, AMS, 2007, pp. 23--35. (Cited on p. 300)</ref>中。这些早期算法是专门为线性[[系统]]开发的，尽管它们常被应用于弱[[非线性系统]]，但当时尚不清楚如何解释由这些方法产生的模型和分解。

Hankel矩阵在[[系统]]辨识中已使用了几十年，例如在[[ERA]]<ref>J. N. Juang and R. S. Pappa, An eigensystem realization algorithm for modal parameter identification and model reduction, J. Guidance Control Dynam., 8 (1985), pp. 620--627. (Cited on pp. 262, 289, 303)</ref>和奇异谱分析(singular spectrum analysis，SSA)<ref>R. W. Brockett, Optimal control of the Liouville equation, in Proceedings of the International Conference on Complex Geometry and Related Fields, AMS/IP Stud. Adv. Math. 39, AMS, 2007, pp. 23--35. (Cited on p. 300)</ref>中。这些早期算法是专门为线性[[系统]]开发的，尽管它们常被应用于弱[[非线性系统]]，但当时尚不清楚如何解释由这些方法产生的模型和分解。