842
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第580行：
第580行： + + + + + + + + + +
→与其他算子的关系
=与其他[[算子]]的关系=
=与其他[[算子]]的关系=
下图直观表示了Koopman算子与其他算子的关系。
[[文件:四算子关系.png||无|算子之间的相互关系。|缩略图|600x600像素]]<br>
从Koopman算子 <math>\mathcal{K}_t</math> 开始，该算子定义在可观测量空间 <math>f</math> 上，用于描述系统的有限时间演化。它由作为无穷小生成元的李算子 <math>\mathcal{L}</math> 通过指数映射生成，两者关系表示为 <math>\mathcal{K} = \exp(\mathcal{L}t)</math>。
在对偶的密度空间 <math>\rho</math> 中，对应的有限时间演化算子是Perron-Frobenius算子 <math>\mathcal{P}_t</math>。类似于Koopman算子，<math>P_t</math> 也可以通过其无穷小生成元——刘维尔算子 <math>\mathcal{L}^*</math> 的指数映射来表示，即 <math>\mathcal{P} = \exp(\mathcal{L}^*t)</math>。
上下两层空间中的算子通过伴随（或对偶）关系相互联系。对于无穷小生成元，李算子 <math>\mathcal{L}</math> 与刘维尔算子 <math>\mathcal{L}^*</math> 满足关系 <math>\langle \mathcal{L}f, \rho \rangle = \langle f, \mathcal{L}^*\rho \rangle</math>；对于有限时间演化算子，Koopman算子 <math>\mathcal{K}_t</math> 与Perron-Frobenius算子 <math>\mathcal{P}_t</math> 满足关系 <math>\langle \mathcal{K}_t f, \rho \rangle = \langle f, \mathcal{P}_t \rho \rangle</math>。
==[[Perron-Frobenius算子]]==
==[[Perron-Frobenius算子]]==