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→Banavar最优网络模型
==== Banavar最优网络模型 ====
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Banavar, Maritan和Rinaldo (1999)研究了高效运输网络中的大小和形式关系<ref name='banavar1999'>{{cite journal |author1=Banavar, J.|author2=Maritan, A.|author3=Rinaldo, A.|title=Size and form in efficient transportation networks|journal=nature|volume=399|page=130–132|year=1999}}</ref>。自然界中的分布式网络源于有效连接的需要，既存在于生物系统中，如心血管和呼吸网络以及植物的维管和根系统，也存在于无机系统中，如河流流域的排水网络。他们推导了任意网络中大小和流率之间的一般关系，并提供了一个统一的框架来解释[[克莱伯定律]]。
Banavar, Maritan和Rinaldo于1999年在Nature上发表文章，提出了Banavar最优输运网络模型，用以建模生物体内部的输运网络（例如动物的心血管和呼吸网络植物的经脉网络和根系统，以及细胞的微管网络等），从而解释[[克莱伯定律]]的起源<ref name='banavar1999'>{{cite journal |author1=Banavar, J.|author2=Maritan, A.|author3=Rinaldo, A.|title=Size and form in efficient transportation networks|journal=nature|volume=399|page=130–132|year=1999}}</ref>。该文章认为，自然界中的分布式网络源于有效连接的需要，既存在于生物系统中，也存在于无机系统中，如河流流域的排水网络。他们推导了任意网络中大小和流率之间的一般关系，并提供了一个统一的框架来解释[[克莱伯定律]]。
[[文件:Banavar网络模型示意图.png|替代=Banavar网络示意图|无|500x500像素|缩略图|Banavar网络示意图。a，一个全连接网络的示例，将连接各站点的链路的连接模式（通常记为 [math]X[/math]）定义为其网络结构，并以与源点 [math]O[/math] 的不同距离 [math]L_X[/math] 为特征。图中节点编号表示 [math]L_X[/math] 的取值；[math]L_X[/math] 定义为从 [math]O[/math] 到 [math]X[/math] 沿网络的所有路径中，所经过站点数的最小值。斜线阴影区域表示某一站点的基本服务体积 [math]V_X[/math]。每个站点 [math]X[/math] 可视为为一个需要必要营养供给 [math]F_X[/math] 的基本体积 [math]V_X[/math] 提供服务。若两个站点的服务体积在其边界上共享一部分且该部分为非零测度，则称它们为邻居。箭头表示从源点指向外部的定向链路。]]
[[文件:Banavar网络模型示意图.png|替代=Banavar网络示意图|无|500x500像素|缩略图|Banavar网络示意图。a，一个全连接网络的示例，将连接各站点的链路的连接模式（通常记为 [math]X[/math]）定义为其网络结构，并以与源点 [math]O[/math] 的不同距离 [math]L_X[/math] 为特征。图中节点编号表示 [math]L_X[/math] 的取值；[math]L_X[/math] 定义为从 [math]O[/math] 到 [math]X[/math] 沿网络的所有路径中，所经过站点数的最小值。斜线阴影区域表示某一站点的基本服务体积 [math]V_X[/math]。每个站点 [math]X[/math] 可视为为一个需要必要营养供给 [math]F_X[/math] 的基本体积 [math]V_X[/math] 提供服务。若两个站点的服务体积在其边界上共享一部分且该部分为非零测度，则称它们为邻居。箭头表示从源点指向外部的定向链路。]]
如上图所示，Banavar等人将生物体建模为一个空间分布的单一源的输运网络。其中每个节点为生物体内的一个抽象的代谢单元（例如一个需要新陈代谢的单个细胞或血管网络的分叉节点），连边对应为链接这些单元的输运关系，连边上的权重对应为流量的大小。网络中有一个唯一的源节点，这代表了能量或物质流的流入（例如心脏或根）。所有网络的连边都必须是局部的。之后，Banavar模型假设每个代谢单元的单位时间内的能量消耗为常数1单位。同时，模型假设整个网络处于流量平衡的稳态（即所有节点的入流等于出流），这样，整个网络的流入总量就会刚好等于流出总量，而流出总量正比于节点个数。由于代谢单元在D维空间中是均匀分布的，因此代谢单元的总量就正比于[math]L^D[/math]，这里[math]L[/math]为生物体的特征尺度，也可以简单理解为流网络中源节点到任意节点的平均长度。其次，模型定义了一个输运成本指标，它简单记为所有连边上的流量的总和。显然，不同的局部链接结构就会导致不同的流量分布模式，有的可以导致较大的输运成本，有的则会让输运成本更小。于是，这便有了优化的可能性。Banavar等人在文章<ref name='banavar1999'/>中最终证明最优结构的输运网络必然会有输运成本总量是正比于[math]L^{D+1}[/math]的。最后，如果假设从源进入的总流入量正比于生物体的代谢率[math]F[/math]，而总输运成本正比于生物体的生物质量[math]M[/math]，则我们可以得到幂律关系[math]F\propto M^{D/(D+1)}[/math]，于是解释了[[克莱伯定律]]的起源。
对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]，等价地，转移站点数B的标度最多为[math]\displaystyle{ C^{D/(D+1)} }[/math]，最少为[math]\displaystyle{ C^{1/2} }[/math]。一个简单的论证是C等于转移站点数（[math]\displaystyle{ L^D }[/math]）乘以转移站点到源的平均距离。
对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]，等价地，转移站点数B的标度最多为[math]\displaystyle{ C^{D/(D+1)} }[/math]，最少为[math]\displaystyle{ C^{1/2} }[/math]。一个简单的论证是C等于转移站点数（[math]\displaystyle{ L^D }[/math]）乘以转移站点到源的平均距离。