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第1,481行： − 如上图所示，Banavar等人将生物体建模为一个空间分布的单一源的输运网络。其中每个节点为生物体内的一个抽象的代谢单元（例如一个需要新陈代谢的单个细胞或血管网络的分叉节点），连边对应为链接这些单元的输运关系，连边上的权重对应为流量的大小。网络中有一个唯一的源节点，这代表了能量或物质流的流入（例如心脏或根）。所有网络的连边都必须是局部的。之后，Banavar模型假设每个代谢单元的单位时间内的能量消耗为常数1单位。同时，模型假设整个网络处于流量平衡的稳态（即所有节点的入流等于出流），这样，整个网络的流入总量就会刚好等于流出总量，而流出总量正比于节点个数。由于代谢单元在D维空间中是均匀分布的，因此代谢单元的总量就正比于[math]L^D[/math]，这里[math]L[/math]为生物体的特征尺度，也可以简单理解为流网络中源节点到任意节点的平均长度。其次，模型定义了一个输运成本指标，它简单记为所有连边上的流量的总和。显然，不同的局部链接结构就会导致不同的流量分布模式，有的可以导致较大的输运成本，有的则会让输运成本更小。于是，这便有了优化的可能性。Banavar等人在文章<ref name='banavar1999'/>中最终证明最优结构的输运网络必然会有输运成本总量是正比于[math]L^{D+1}[/math]的。最后，如果假设从源进入的总流入量正比于生物体的代谢率[math]F[/math]，而总输运成本正比于生物体的生物质量[math]M[/math]，则我们可以得到幂律关系[math]F\propto M^{D/(D+1)}[/math]，于是解释了[[克莱伯定律]]的起源。+ − 对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]，等价地，转移站点数B的标度最多为[math]\displaystyle{ C^{D/(D+1)} }[/math]，最少为[math]\displaystyle{ C^{1/2} }[/math]。一个简单的论证是C等于转移站点数（[math]\displaystyle{ L^D }[/math]）乘以转移站点到源的平均距离。+ − 对于最有效的网络类别，[math]\displaystyle{ C \propto L^{D+1} }[/math]。总血容量增长得比代谢率B快，因为生物体的特征尺度增大。因此，较大的生物体每单位血容量的转移位点数量（因此B）较低。由于生物体质量至少按C标度，代谢率不与质量呈线性标度，而是按[math]\displaystyle{ M^{D/(D+1)} }[/math]标度。在非生物学背景下，转移站点数与服务区域的体积成正比，这反过来导致了一种新的质量-体积关系。他们的理论预测，对于有效流域（drainage basin），C与A的对数-对数图应该有3/2的斜率，因为D=2，自然界中的河网是已知的有效和定向的。他们的观测数据在五个尺度级上证实了预测。+ + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→Banavar最优网络模型
[[文件:Banavar网络模型示意图.png|替代=Banavar网络示意图|无|500x500像素|缩略图|Banavar网络示意图。a，一个全连接网络的示例，将连接各站点的链路的连接模式（通常记为 [math]X[/math]）定义为其网络结构，并以与源点 [math]O[/math] 的不同距离 [math]L_X[/math] 为特征。图中节点编号表示 [math]L_X[/math] 的取值；[math]L_X[/math] 定义为从 [math]O[/math] 到 [math]X[/math] 沿网络的所有路径中，所经过站点数的最小值。斜线阴影区域表示某一站点的基本服务体积 [math]V_X[/math]。每个站点 [math]X[/math] 可视为为一个需要必要营养供给 [math]F_X[/math] 的基本体积 [math]V_X[/math] 提供服务。若两个站点的服务体积在其边界上共享一部分且该部分为非零测度，则称它们为邻居。箭头表示从源点指向外部的定向链路。]]
[[文件:Banavar网络模型示意图.png|替代=Banavar网络示意图|无|500x500像素|缩略图|Banavar网络示意图。a，一个全连接网络的示例，将连接各站点的链路的连接模式（通常记为 [math]X[/math]）定义为其网络结构，并以与源点 [math]O[/math] 的不同距离 [math]L_X[/math] 为特征。图中节点编号表示 [math]L_X[/math] 的取值；[math]L_X[/math] 定义为从 [math]O[/math] 到 [math]X[/math] 沿网络的所有路径中，所经过站点数的最小值。斜线阴影区域表示某一站点的基本服务体积 [math]V_X[/math]。每个站点 [math]X[/math] 可视为为一个需要必要营养供给 [math]F_X[/math] 的基本体积 [math]V_X[/math] 提供服务。若两个站点的服务体积在其边界上共享一部分且该部分为非零测度，则称它们为邻居。箭头表示从源点指向外部的定向链路。]]
如上图所示，Banavar等人将生物体建模为一个[math]D[/math]维空间中均匀分布的单一源的输运网络。
网络中每个节点为生物体内的一个抽象的代谢单元（例如一个需要新陈代谢的单个细胞或血管网络的分叉节点），连边对应为链接这些单元的输运关系，连边上的权重对应为流量的大小。网络中有一个唯一的源节点，这代表了能量或物质流的流入（例如心脏或根）。模型假设上亿年的进化已经让生物体内的输运网络变得输运效率是一种最优的结果，而这种最优的输运网络恰恰可以导出代谢率与生物量尺寸之间的3/4定律。
因此，Banavar模型将[[克莱伯定律]]的起源问题转化为一个数学上的最优化问题。它首先定义输运网络的优化目标为总输运成本：
* 优化目标：总输运成本[math]C=\sum_{ij}f_{ij}[/math]，这里[math]f_{ij}[/math]为任意i到j的连边的流量。
同时，整个网络需要受到下面的一系列约束：
# Banavar模型假设每个代谢单元的单位时间内的能量消耗为常数1单位,即第[math]i[/math]个节点的耗散流（即i到环境的流量）[math]D_i=1[/math]；
# Banavar模型假设整个网络处于流量平衡的稳态（即所有节点的入流都必须等于出流），即对于任意节点[math]i[/math]，有[math]\sum_{k}f_{ki}=\sum_{j}f_{ij}+D_i[/math]，这里[math]f_{ij}[/math]代表从i到j的流量；
# 网络的连接必须是局部的；
# 节点的分布在[math]D[/math]维空间必须是均匀的；
# 源节点是一个特殊的节点，它承载了所有的从环境输入的流量。
在这样的约束条件下，显然不同的网络连接结构就会对应不同的网络输运成本[math]C[/math]，如上图a或b；有的网络输运成本越低（如图c），有的则成本很高（如图d）。
Banavar定义了一个重要的中间变量，可以帮我们计算任意网络的输运效率，即[math]L_X[/math]即任意节点到源的距离。上图中所有节点中间的数字即为该节点的[math]L_X[/math]。Banavar等人证明，所有节点上的[math]L_X[/math]之和即为该网络的总输运成本。对于D维空间中的运输网络，他们证明了一个关键定理：[math]\displaystyle{ C \geq L^{D+1} }[/math]。最优网络结构如图c所示，成本最高的网络如图d所示。
最后，Banavar等人将网络的整体指标对应到生物体的新陈代谢和体重上。具体地：
# 生物体的新陈代谢[math]F[/math]正比于从源流入的总量，也正比于所有节点的节点数（由于每个节点的耗散为1单位，而且流量平衡），也正比于这些节点占据的[math]D[/math]维空间中的体积（因为节点均匀分布）。因此，我们可以得到[math]F\propto L^D[/math]，这里[math]L=\frac{\sum_X L_X}{N}[/math]，[math]N[/math]为节点总数。
# 生物体的体重规模[math]M[/math]正比于总输运成本[math]C[/math]，在最低的情况下，可以达到[math]C\propto L^{D+1}[/math]（由文中定理）。
因此，我们可以得到，对于最优的输运网络，我们有[math]F\propto M^{D/(D+1)}[/math]，如果取[math]D=3[/math]，我们便是解释了[[克莱伯定律]]的起源。
他们的理论预测，对于有效流域（drainage basin），C与A的对数-对数图应该有3/2的斜率，因为D=2，自然界中的河网是已知的有效和定向的。他们的观测数据在五个尺度级上证实了预测。
尽管具体细节变化很大，但内置于高效运输网络中的行为为异速标度的多样化系统提供了统一的框架。他们分析显示基本结果不需要关于网络分层性质的任何假设，也不一定需要树状结构。然而，树的存在会大大缩短网络的总长度，从而增加其可行性和效率。
尽管具体细节变化很大，但内置于高效运输网络中的行为为异速标度的多样化系统提供了统一的框架。他们分析显示基本结果不需要关于网络分层性质的任何假设，也不一定需要树状结构。然而，树的存在会大大缩短网络的总长度，从而增加其可行性和效率。