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→一般的观测函数下如何得到特征函数？
==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==
==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==
注意，一般矩阵的[[特征值分解]]通常是唯一的，其[[特征向量]]是有限维的，每个本征空间是有限维的，且[[特征值]]个数有限。而Koopman[[算子]]是作用在[[无限]]维的函数空间上的，所以会有[[无限]]多个[[特征函数]]。只要有[[生成元]]，就可以[[无限]]地生成新的[[特征函数]]。而换一组[[生成元]]，[[特征函数]]的表现形式会很不一样。
注意，一般矩阵的[[特征值分解]]通常是唯一的，其[[特征向量]]是有限维的，每个本征空间是有限维的，且[[特征值]]个数有限。而Koopman[[算子]]是作用在[[无限]]维的函数空间上的，所以理论上会有[[无限]]多个特征值和[[特征函数]]。实践中，关键在于我们要选取适当的观测函数，才能得到有意义的特征值和特征函数。
下面介绍一种获得Koopman[[算子]][[特征函数]]的方法，即傅立叶平均方法。
下面介绍一种获得Koopman[[算子]][[特征函数]]的方法，即傅立叶平均方法。
从图中效果可见，[[特征函数]]可以区分和标识出不同的[[周期轨道]]。从能量角度来说，同一个周期轨道上的点能量相同，所以它们会对应同一个特征值。从特征函数定义角度来说，这里特征函数是运行多步取平均的，所以自然同一个轨道上的点特征函数取值相近。在特征值谱上，这样的周期轨道对应的就是离散谱，详见3.1.2.1节。
从图中效果可见，[[特征函数]]可以区分和标识出不同的[[周期轨道]]。从能量角度来说，同一个周期轨道上的点能量相同，所以它们会对应同一个特征值。从特征函数定义角度来说，这里特征函数是运行多步取平均的，所以自然同一个轨道上的点特征函数取值相近。在特征值谱上，这样的周期轨道对应的就是离散谱，详见3.1.2.1节。
===观测函数的选取与边界条件===
在上面的案例中，观测函数<math> g(x,\,y) = \sin(6\pi x)\,\sin(4\pi y) </math>满足边界条件<math>\forall x,y, \, g(0,y)=g(1,y),g(x,0)=g(x,1)</math>，所以是合适的观测函数。如果另取一个观测函数不满足该边界条件，最后也能根据傅立叶平均方法计算出特征值和特征函数，但就缺失真实的物理含义了。
事实上，如果我们选择的函数空间“太宽”（例如允许所有可测函数或非常不光滑的函数），那么我们可以构造出密集的、甚至填满整个单位圆盘的特征值。这种情况下，谱分析就失去了“刻画系统特征频率”的作用，因为任何频率都成了特征频率，无法提取出动力系统的核心模态。所以Koopman算子的谱性质高度依赖于函数空间的构建。
在物理应用中，状态空间往往是有界的（如流体在管道内）。函数空间的选择必须符合物理边界条件，这会帮助我们筛选合适的观测函数，限制算子的定义域，从而得到有意义的特征值和特征函数。
==不变子空间==
==不变子空间==