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====性质1（离散谱与[[连续谱]]）====

====性质1（离散谱与[[连续谱]]）====

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中；而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。[[哈密顿系统]]的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其[[振荡]]振幅会不断变化，则往往会得到[[连续谱]]。下面我们给出它们的严格定义。

在一般的[[动力系统]]中，Koopman[[算子]]的本征谱可能既有离散的[[点谱]]的结构，也会有[[连续谱]]的结构。离散谱意味着有限的几个[[特征函数]]不恒为0，它们对应着一些有序的周期或准周期结构，能量比较集中.更准确地说，离散谱对应的运动应是状态空间中测度不为零的点集所共有的行为。若仅是一条孤立且不稳定的周期轨道，由于其测度为零，通常不足以产生离散谱，除非该轨道是稳定的吸引子或属于整体规则演化的部分。

 

而[[连续谱]]意味着在[[特征函数]]几乎处处为0，此时往往对应的是[[混沌]]的性质，能量比较弥散不集中。[[哈密顿系统]]的本征谱一般是离散谱，而当系统有阻尼（或其他外力）时，其[[振荡]]振幅会不断变化，则往往会得到[[连续谱]]。下面我们给出它们的严格定义。

给定[[算子]] <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆[[算子]]（bounded inverse）的[[标量]] <math>\lambda</math> 的[[集合]]。谱可以根据预解[[算子]]（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为[[有界算子]]的具体原因进一步划分为不同的[[子集]]。   

给定[[算子]] <math>\mathcal{T}: \mathcal{G} \rightarrow \mathcal{G}</math>，其中<math>\mathcal{G}</math>为某个函数空间，我们将谱 <math>\sigma(\mathcal{T})</math> 定义为使得[[算子]] <math>\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I}</math> 不存在有界逆[[算子]]（bounded inverse）的[[标量]] <math>\lambda</math> 的[[集合]]。谱可以根据预解[[算子]]（resolvent） <math>(\mathcal{T} - \lambda \mathcal{I})^{-1}</math> 不存在为[[有界算子]]的具体原因进一步划分为不同的[[子集]]。