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这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}_j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''。

这组三元组<math>\{(\lambda_j, \varphi_j, \mathbf{v}_j)\}_{j=1}^\infty</math>称为'''Koopman[[模式分解]]'''。

这一理论由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. (Cited on pp. 231, 244, 246, 273, 289, 292)</ref>。通常，我们可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的[[数学]]对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

这一理论由Mezić于2005年提出<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325.</ref>。通常，我们可以将这种展开近似为仅包含少数主导项的截断和。如下文“DMD”章节所示，DMD估计中，DMD的[[特征值]]将近似Koopman[[特征值]]<math>\lambda_j</math>，DMD模态将近似Koopman模态<math>\mathbf{v}_j</math>，而DMD的模态幅值将近似[[初始状态]]下相应Koopman[[特征函数]]的值<math>\varphi_j(\mathbf{x}_0)</math>。需要注意的是，Koopman模态和[[特征函数]]是不同的[[数学]]对象，其近似方法也不相同。Koopman[[特征函数]]通常比Koopman模态更难计算，因此激发了如扩展DMD算法等技术的发展。

==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==

==一般的观测函数下如何得到[[特征函数]]？==

现代Koopman[[算子]]理论为在[[非线性系统]]中解释这些经典的基于Hankel方法的结果提供了一个有价值的新视角。在 Hankel 矩阵上计算 DMD 的做法最早由Tu等人<ref name=Tu_2014 />提出，并由Brunton等人<ref name=brunton_neural>B. W. Brunton, L. A. Johnson, J. G. Ojemann, and J. N. Kutz, Extracting spatial-- temporal coherent patterns in large-scale neural recordings using dynamic mode decomposition, J. Neurosci. Methods, 258 (2016), pp. 1--15, https://doi.org/10.1016/j.jneumeth. 2015.10.010.</ref>用于[[神经科学]]领域。Hankel矩阵与Koopman[[算子]]之间的联系，由 Brunton等人<ref name=brunton_2017 />在[[HAVOK]]框架中建立。随后的一些工作为该方法提供了更完善的理论基础<ref name=arbabi_2017>H. Arbabi and I. Mezic\', Ergodic theory, dynamic mode decomposition, and computation of spectral properties of the Koopman operator, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 16 (2017), pp. 2096--2126, https://doi.org/10.1137/17M1125236.</ref><ref name=das_2019>S. Das and D. Giannakis, Delay-coordinate maps and the spectra of Koopman operators, J. Statist. Phys., 175 (2019), pp. 1107--1145.</ref>。[[HAVOK]] 方法也常被称为延迟DMD<ref name=Tu_2014 />或Hankel-DMD<ref name=arbabi_2017 />。

现代Koopman[[算子]]理论为在[[非线性系统]]中解释这些经典的基于Hankel方法的结果提供了一个有价值的新视角。在 Hankel 矩阵上计算 DMD 的做法最早由Tu等人<ref name=Tu_2014 />提出，并由Brunton等人<ref name=brunton_neural>B. W. Brunton, L. A. Johnson, J. G. Ojemann, and J. N. Kutz, Extracting spatial-- temporal coherent patterns in large-scale neural recordings using dynamic mode decomposition, J. Neurosci. Methods, 258 (2016), pp. 1--15, https://doi.org/10.1016/j.jneumeth. 2015.10.010.</ref>用于[[神经科学]]领域。Hankel矩阵与Koopman[[算子]]之间的联系，由 Brunton等人<ref name=brunton_2017 />在[[HAVOK]]框架中建立。随后的一些工作为该方法提供了更完善的理论基础<ref name=arbabi_2017>H. Arbabi and I. Mezic\', Ergodic theory, dynamic mode decomposition, and computation of spectral properties of the Koopman operator, SIAM J. Appl. Dyn. Syst., 16 (2017), pp. 2096--2126, https://doi.org/10.1137/17M1125236.</ref><ref name=das_2019>S. Das and D. Giannakis, Delay-coordinate maps and the spectra of Koopman operators, J. Statist. Phys., 175 (2019), pp. 1107--1145.</ref>。[[HAVOK]] 方法也常被称为延迟DMD<ref name=Tu_2014 />或Hankel-DMD<ref name=arbabi_2017 />。

延迟嵌入与Koopman算子之间的联系最早在 2004 年由 Mezić 和 Banaszuk<ref>I. Mezi\'c and A. Banaszuk, Comparison of systems with complex behavior, Phys. D, 197 (2004), pp. 101--133.</ref>建立，在其中定义了[[随机]]Koopman[[算子]]并证明了统计[[Takens定理]]。还有工作研究了如何将[[动力学]]拆分为[[确定性]]线性[[动力学]]与[[混沌]][[随机]][[动力学]]<ref name=IM2005>I. Mezic\', Spectral properties of dynamical systems, model reduction and decompositions, Nonlinear Dynam., 41 (2005), pp. 309--325. </ref>。在具有长期记忆效应的[[系统]]中，使用延迟坐标可能尤其重要，而Koopman方法已被证明是此类[[系统]]中一种成功的分析工具<ref>A. Svenkeson, B. Glaz, S. Stanton, and B. J. West, Spectral decomposition of nonlinear systems with memory, Phys. Rev. E, 93 (2016), art. 022211, https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.93.022211.</ref>。

延迟嵌入与Koopman算子之间的联系最早在 2004 年由 Mezić 和 Banaszuk<ref>I. Mezi\'c and A. Banaszuk, Comparison of systems with complex behavior, Phys. D, 197 (2004), pp. 101--133.</ref>建立，在其中定义了[[随机]]Koopman[[算子]]并证明了统计[[Takens定理]]。还有工作研究了如何将[[动力学]]拆分为[[确定性]]线性[[动力学]]与[[混沌]][[随机]][[动力学]]<ref name=IM2005 />。在具有长期记忆效应的[[系统]]中，使用延迟坐标可能尤其重要，而Koopman方法已被证明是此类[[系统]]中一种成功的分析工具<ref>A. Svenkeson, B. Glaz, S. Stanton, and B. J. West, Spectral decomposition of nonlinear systems with memory, Phys. Rev. E, 93 (2016), art. 022211, https://doi.org/10.1103/ PhysRevE.93.022211.</ref>。

=与其他[[算子]]的关系=

=与其他[[算子]]的关系=