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:<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>   

:<math>\mathcal{P}^t \rho = \lambda^t \rho.</math>   

当 <math>\lambda = 1</math> 时，<math>\rho</math> 是不变密度，可将[[动力学]]划分为不变集。即使远离[[Galerkin近似]]的极限，Ulam矩阵 <math>\mathbf{U}</math>(PF[[算子]]的具体矩阵表示) 也可以被解释为[[有向图]]上的[[马尔可夫链]][[转移矩阵]]，这允许定义[[状态空间]]中的[[几乎不变集]]<ref>G. Froyland and M. Dellnitz, Detecting and locating near-optimal almost-invariant sets and cycles, SIAM J. Sci. Comput., 24 (2003), pp. 1839--1863, https://doi.org/10.1137/ S106482750238911X. (Cited on pp. 240, 272)</ref>。对于模长<math>|\lambda| \neq 1</math>的[[特征值]]，其[[特征函数]]与[[动力系统]][[状态空间]]中的混合性质和逃逸率有关<ref>G. Froyland and O. Stancevic, Escape rates and Perron-Frobenius operators: Open and closed dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. B, 14 (2010), pp. 457--472, https: //doi.org/10.3934/dcdsb.2010.14.457. (Cited on p. 272)</ref>。   

当 <math>\lambda = 1</math> 时，<math>\rho</math> 是不变密度，可将[[动力学]]划分为不变集。即使远离[[Galerkin近似]]的极限，Ulam矩阵 <math>\mathbf{U}</math>(PF[[算子]]的具体矩阵表示) 也可以被解释为[[有向图]]上的[[马尔可夫链]][[转移矩阵]]，这允许定义[[状态空间]]中的[[几乎不变集]]<ref>G. Froyland and M. Dellnitz, Detecting and locating near-optimal almost-invariant sets and cycles, SIAM J. Sci. Comput., 24 (2003), pp. 1839--1863, https://doi.org/10.1137/ S106482750238911X. (Cited on pp. 240, 272)</ref>。对于模长<math>|\lambda| \neq 1</math>的[[特征值]]，其[[特征函数]]与[[动力系统]][[状态空间]]中的混合性质和逃逸率有关<ref>G. Froyland and O. Stancevic, Escape rates and Perron-Frobenius operators: Open and closed dynamical systems, Discrete Contin. Dyn. Syst. B, 14 (2010), pp. 457--472, https: //doi.org/10.3934/dcdsb.2010.14.457. </ref>。   

PF[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Liouville算子]] <math>\mathcal{A}</math>，其满足   

PF[[算子]]的无穷小[[生成元]]是[[Liouville算子]] <math>\mathcal{A}</math>，其满足   

:<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>   

:<math>\mu \rho + \operatorname{div}(\rho \mathbf{f}) = 0,</math>   

只要PF[[算子]][[特征值]]<math>\lambda = e^\mu \in \mathbb{C}/\{0\}</math> 成立。Koopman和PF[[算子]]的不变[[特征函数]]已被用于提取[[动力系统]][[状态空间]]中的不变集。在这些[[算子]]互为对偶的函数空间中，两个[[算子]]的[[特征函数]]理论上包含相同的信息。然而，在实践中，我们需要基于实际约束做出合适的选择。例如，通过Koopman[[特征函数]]对不变集的近似依赖于长时间的轨迹，而Ulam对PF的近似通常需要定义域内密集[[采样]]的短时轨迹<ref>M. Budis\v i\'c and I. Mezic\', Geometry of the ergodic quotient reveals coherent structures in flows, Phys. D, 241 (2012), pp. 1255--1269, https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006. (Cited on pp. 231, 232, 237, 244, 267, 272, 279)</ref>。

只要PF[[算子]][[特征值]]<math>\lambda = e^\mu \in \mathbb{C}/\{0\}</math> 成立。Koopman和PF[[算子]]的不变[[特征函数]]已被用于提取[[动力系统]][[状态空间]]中的不变集。在这些[[算子]]互为对偶的函数空间中，两个[[算子]]的[[特征函数]]理论上包含相同的信息。然而，在实践中，我们需要基于实际约束做出合适的选择。例如，通过Koopman[[特征函数]]对不变集的近似依赖于长时间的轨迹，而Ulam对PF的近似通常需要定义域内密集[[采样]]的短时轨迹<ref>M. Budis\v i\'c and I. Mezic\', Geometry of the ergodic quotient reveals coherent structures in flows, Phys. D, 241 (2012), pp. 1255--1269, https://doi.org/10.1016/j.physd.2012.04.006.</ref>。另外，对于PF算子的特征值谱的计算，读者可参考相关的周期轨道理论<ref name=chaosbook>P. Cvitanovi\'c, R. Artuso, R. Mainieri, G. Tanner and G. Vattay, Chaos: Classical and Quantum, ChaosBook.org (Niels Bohr Institute, Copenhagen 2020)</ref>。

==[[Lie算子]]==

==[[Lie算子]]==