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==[[算子]]对偶性==

==[[算子]]对偶性==

定义中引入了 <math>\mathcal{K}^*</math>。在[[动力系统]]中，Koopman [[算子]]与 Perron-Frobenius [[算子]]（PF[[算子]]）互为伴随，即满足[[内积]]关系 <math>\langle \mathcal{K}g, \rho \rangle = \langle g, \mathcal{P}\rho \rangle</math>。因此，Koopman [[算子]]的[[奇异值]]分析本质上联系了“观测函数的演化”与“[[概率]]密度的演化”这两个对偶过程<ref name=klus_2018>Klus, S., Nüske, F., Koltai, P., Wu, H., Kevrekidis, I., Schütte, C., & Noé, F. (2018). Data-Driven Model Reduction and Transfer Operator Approximation. Journal of Nonlinear Science, 28(3), 985–1010. https://doi.org/10.1007/s00332-017-9437-7</ref>。这意味着Koopman[[算子]]与PF[[算子]]的非零[[奇异值]]谱是完全一模一样的。

定义中引入了 <math>\mathcal{K}^*</math>。在[[动力系统]]中，Koopman [[算子]]与 Perron-Frobenius [[算子]]（PF[[算子]]）互为伴随，即满足[[内积]]关系 <math>\langle \mathcal{K}g, \rho \rangle = \langle g, \mathcal{P}\rho \rangle</math>，可参考词条[[Koopman算子理论]]。因此，Koopman [[算子]]的[[奇异值]]分析本质上联系了“观测函数的演化”与“[[概率]]密度的演化”这两个对偶过程<ref name=klus_2018>Klus, S., Nüske, F., Koltai, P., Wu, H., Kevrekidis, I., Schütte, C., & Noé, F. (2018). Data-Driven Model Reduction and Transfer Operator Approximation. Journal of Nonlinear Science, 28(3), 985–1010. https://doi.org/10.1007/s00332-017-9437-7</ref>。这意味着Koopman[[算子]]与PF[[算子]]的非零[[奇异值]]谱是完全一模一样的。

为什么是非零[[奇异值]]谱才一模一样呢？因为Koopman[[算子]]和PF[[算子]]作用的函数空间可能存在这种“维度上的不对称”（或者说是有效作用子空间的不对称），所以我们只能保证它们的非零部分（即实际有物理意义的[[奇异值]]）是一样的。在形式上，读者可以参考非方形矩阵的[[SVD]]。

为什么是非零[[奇异值]]谱才一模一样呢？因为Koopman[[算子]]和PF[[算子]]作用的函数空间可能存在这种“维度上的不对称”（或者说是有效作用子空间的不对称），所以我们只能保证它们的非零部分（即实际有物理意义的[[奇异值]]）是一样的。在形式上，读者可以参考非方形矩阵的[[SVD]]。