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第1行： − 鞍结点分岔（Saddle-Node Bifurcation），又称折叠分岔（Fold Bifurcation）、切线分岔（Tangent Bifurcation）或蓝天分岔（Blue Sky Bifurcation），是[[非线性系统]]中最常见的不稳定性机制之一。鞍结点分岔常作为一种局部分岔（Local Bifurcation）出现。+ − 在数学上，我们可以通过标准型来研究[[分岔]]的本质特征。对于一维动力系统（参考[[一维动力学]]），鞍结点分岔的最简微分方程形式（标准型）如下+ 第8行：
第8行： − + − + − + − 只有在此微小邻域内，泰勒展开后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。+ − 鞍结点分岔的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半稳定不动点，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。+ 第28行：
第28行： − + 第34行：
第34行： − + − + 第45行：
第45行： − 情况类似，只是方向发生了调转。+ 第54行：
第54行： − 为了更好地发现在复杂的动力系统中，常以局部分岔的方式出现的鞍结点分岔，我们需要了解它的推广形式。+ 第62行：
第62行： − + 第73行：
第73行： − + − + 第85行：
第85行： − 可见该动力系统符合鞍结点分岔的推广形式，其包含鞍结点分岔。+ 第101行：
第101行： − + 第128行：
第128行： − + 第139行：
第139行： − + 第147行：
第147行： − + − + − + 第158行：
第158行： − x方向的[[不动点]]分析与一维情况完全类似。随着参数 <math>\mu</math> 的变化，二维相平面上的[[拓扑结构]]经历以下三个阶段：+ − + − + − 动力学特征：[[相空间]]被不稳定[[不动点]]分割，大部分轨线最终收敛于稳定[[不动点]]。+ 第171行：
第171行： − +
无编辑摘要
鞍结点[[分岔]]（Saddle-Node [[Bifurcation]]），又称折叠[[分岔]]（Fold [[Bifurcation]]）、切线[[分岔]]（Tangent [[Bifurcation]]）或蓝天[[分岔]]（Blue Sky [[Bifurcation]]），是[[非线性系统]]中最常见的不稳定性机制之一。鞍结点[[分岔]]常作为一种[[局部分岔]]（Local [[Bifurcation]]）出现。
=标准型和性质=
=标准型和性质=
在[[数学]]上，我们可以通过标准型来研究[[分岔]]的本质特征。对于一维[[动力系统]]（参考[[一维动力学]]），鞍结点[[分岔]]的最简[[微分方程]]形式（标准型）如下
{{NumBlk|:|
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<math display="block">
<math display="block">
</math>
</math>
|{{EquationRef|1}}}}
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* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是状态变量，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导分岔产生的外部参数。
* 其中<math>x \in \mathcal{R}</math>是[[状态变量]]，<math>r \in \mathcal{R}</math>为诱导[[分岔]]产生的外部参数。
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），状态变量 <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：
* 对于实际研究中的更复杂的系统，如<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>，为了将原系统简化为标准型（即忽略高阶项（如 <math>O(x^3, r^2)</math> 等）的影响），[[状态变量]] <math>x</math> 和参数 <math>r</math> 必须限制在局部范围内：
** <math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。
** <math>x</math> 的取值范围应为[[不动点]] <math>x^*</math> 的 <math>\varepsilon</math>-邻域：<math>x \in (x^* - \varepsilon, x^* + \varepsilon)</math>，其中 <math>\varepsilon > 0</math> 且充分小。
** <math>r</math> 的取值范围应为临界值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。
** <math>r</math> 的取值范围应为[[临界]]值 <math>r_c</math> 的 <math>\delta</math>-邻域：<math>r \in (r_c - \delta, r_c + \delta)</math>，其中 <math>\delta > 0</math> 且充分小。
只有在此微小邻域内，[[泰勒展开]]后的低阶项才能主导系统的定性行为。具体可参见下文中的推广形式。
鞍结点[[分岔]]的关键性质在于，随着系统参数<math>r</math>的改变，[[相空间]]中原本存在的两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）相互靠近、碰撞并最终相互抵消而消失，导致系统原本的[[稳定状态]]不复存在。也可反过来看待，原本状态不稳定的系统因系统参数<math>r</math>的改变，使其先出现了一个半[[稳定不动点]]，最终出现了两个[[不动点]]（一个稳定，一个不稳定）。
==[[不动点]]和稳定性分析==
==[[不动点]]和稳定性分析==
以<math display="block">
以<math display="block">
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定[[不动点]]；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定[[不动点]]。<math>r=0</math>为[[分岔]]点，有<math>f'(x^*)=0</math>
<math>f'(x^*)=-2x^*</math>。当<math>r>0</math>时，<math>x^*=\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)<0</math>，是稳定[[不动点]]；<math>x^*=-\sqrt{r}</math>，有<math>f'(x^*)>0</math>，是不稳定[[不动点]]。<math>r=0</math>为[[分岔]]点，有<math>f'(x^*)=0</math>
===相图与分岔图===
===[[相图]]与[[分岔]]图===
对于<math display="block">
对于<math display="block">
</math>
</math>
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半稳定不动点，箭头为演化方向。
[[相图]]如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的鞍结点[[分岔]]的三种不同状态，横坐标为<math>x</math>，纵坐标为<math>\dot{x}</math>。实心点为稳定[[不动点]]，空心点为不稳定[[不动点]]，半空心点为[[临界]]半[[稳定不动点]]，箭头为演化[[方向]]。
[[File:相图：鞍结点分岔标准型1.png|800px]]
[[File:相图：鞍结点分岔标准型1.png|800px]]
[[分岔]]图如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的[[不动点]]的分布情况，曲线上每个点都是不动点。实线代表稳定不动点，虚线代表不稳定不动点。
[[分岔]]图如下，展示了系统参数<math>r</math>在不同取值下的[[不动点]]的分布情况，曲线上每个点都是[[不动点]]。实线代表[[稳定不动点]]，虚线代表不[[稳定不动点]]。
[[File:分岔图：鞍节点分岔标准型-1.png|500px]]
[[File:分岔图：鞍节点分岔标准型-1.png|500px]]
\dot{x} = r + x^2
\dot{x} = r + x^2
</math>
</math>
情况类似，只是[[方向]]发生了调转。
[[File:相图：鞍结点分岔标准型2.png|800px]]
[[File:相图：鞍结点分岔标准型2.png|800px]]
==推广形式==
==推广形式==
为了更好地发现在复杂的[[动力系统]]中，常以局部[[分岔]]的方式出现的鞍结点[[分岔]]，我们需要了解它的推广形式。
{{NumBlk|:|
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<math display="block">
<math display="block">
可以看作是一阶参数与二阶自变量的线性组合。
可以看作是一阶参数与二阶自变量的线性组合。
===推导过程===
===推导过程===
将<math>\dot x=f</math>视为关于<math>x</math>与<math>r</math>的函数<math>f(x,r)</math>，对<math>x</math>，<math>r</math>在<math>x^*</math>与<math>r_c</math>处分别进行泰勒展开得到（其中<math>r_c</math>是[[临界状态]]时的<math>r</math>值）
将<math>\dot x=f</math>视为关于<math>x</math>与<math>r</math>的函数<math>f(x,r)</math>，对<math>x</math>，<math>r</math>在<math>x^*</math>与<math>r_c</math>处分别进行[[泰勒展开]]得到（其中<math>r_c</math>是[[临界状态]]时的<math>r</math>值）
{{NumBlk|:|
{{NumBlk|:|
<math display="block">
<math display="block">
以<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>为例
以<math>\dot{x} = r - x - \mathrm{e}^{-x}</math>为例
令<math>\dot x = 0</math>，有<math>r-x=\mathrm{e}^{-x}</math>，找到两曲线相切的点即可得到我们需要的不动点<math>x^*=0</math>，临界值<math>r_c = 1</math>。
令<math>\dot x = 0</math>，有<math>r-x=\mathrm{e}^{-x}</math>，找到两曲线相切的点即可得到我们需要的[[不动点]]<math>x^*=0</math>，[[临界]]值<math>r_c = 1</math>。
在<math>x^*=0</math>，<math>r_c = 1</math>附近，将<math>\mathrm{e}^{-x}</math>在<math>x=0</math>处进行泰勒展开，得到
在<math>x^*=0</math>，<math>r_c = 1</math>附近，将<math>\mathrm{e}^{-x}</math>在<math>x=0</math>处进行[[泰勒展开]]，得到
</math>
</math>
可见该[[动力系统]]符合鞍结点[[分岔]]的推广形式，其包含鞍结点[[分岔]]。
=案例：云杉蚜虫爆发模型=
=案例：云杉蚜虫爆发模型=
以<math>\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>为例,
以<math>\frac{dN}{dt} = rN(1 - \frac{N}{K}) - \frac{BN^2}{A^2 + N^2}</math>为例,
由于式中出现了四个参数<math>N</math>、<math>K</math>、<math>A</math>（鸟类捕食饱和点）、<math>B</math>（最大捕食率），需要通过无量纲化减少参数数量，同时将参数集中到逻辑斯谛方程的部分，消除捕食率曲线中的参数来便于我们分析。
由于式中出现了四个参数<math>N</math>、<math>K</math>、<math>A</math>（鸟类捕食饱和点）、<math>B</math>（最大捕食率），需要通过无量纲化减少参数数量，同时将参数集中到[[逻辑斯谛方程]]的部分，消除捕食率曲线中的参数来便于我们分析。
# 式子两边除以<math>B</math>，令<math>x=N/A</math>。得到<math>\frac{A \mathrm{~d} x}{B \mathrm{~d} t}=\frac{r}{B} A x\left(1-\frac{A x}{K}\right)-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}</math>
# 式子两边除以<math>B</math>，令<math>x=N/A</math>。得到<math>\frac{A \mathrm{~d} x}{B \mathrm{~d} t}=\frac{r}{B} A x\left(1-\frac{A x}{K}\right)-\frac{x^{2}}{1+x^{2}}</math>
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定[[不动点]]。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定[[不动点]]。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半稳定不动点。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半[[稳定不动点]]。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。
=二维系统（以上）=
=二维系统（以上）=
与一维[[动力系统]]中的鞍结点分岔类似，二维及以上的鞍结点分岔同样描述了一个稳定[[不动点]]和一个不稳定[[不动点]]随参数变化相互靠近、碰撞并最终同时消失的过程。鞍结点分岔的形式非常普遍，在[[环上的鞍结点分岔]]、[[无限周期分岔]]等其他更复杂的分岔类型中，常常在某些局部上出现鞍结点分岔的身影，这里就不予过多讨论，读者可参考相应的词条。
与一维[[动力系统]]中的鞍结点[[分岔]]类似，二维及以上的鞍结点[[分岔]]同样描述了一个稳定[[不动点]]和一个不稳定[[不动点]]随参数变化相互靠近、碰撞并最终同时消失的过程。鞍结点[[分岔]]的形式非常普遍，在[[环上的鞍结点分岔]]、[[无限周期分岔]]等其他更复杂的[[分岔]]类型中，常常在某些局部上出现鞍结点[[分岔]]的身影，这里就不予过多讨论，读者可参考相应的词条。
==二维标准型==
==二维标准型==
</math>
</math>
* <math>x</math>与<math>y</math>为状态变量。
* <math>x</math>与<math>y</math>为[[状态变量]]。
* <math>\mu</math>为分岔参数。
* <math>\mu</math>为[[分岔参数]]。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（<math>\lambda_y = -1</math>），表明系统在非分岔方向上是稳定的。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（<math>\lambda_y = -1</math>），表明系统在非[[分岔]][[方向]]上是稳定的。
三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有[[分岔]]行为（类似<math>\dot x = \mu - x^2</math>），系统在其余维度上稳定（均为类似<math>\dot y=ay</math>的形式，其中参数<math>a<0</math>）。
三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有[[分岔]]行为（类似<math>\dot x = \mu - x^2</math>），系统在其余维度上稳定（均为类似<math>\dot y=ay</math>的形式，其中参数<math>a<0</math>）。
x[[方向]]的[[不动点]]分析与一维情况完全类似。随着参数 <math>\mu</math> 的变化，二维相平面上的[[拓扑结构]]经历以下三个阶段：
1. 双[[不动点]]共存阶段 (<math>\mu > 0</math>)：
1. 双[[不动点]]共存阶段 (<math>\mu > 0</math>)：
* 稳定[[不动点]] <math>(\sqrt{\mu}, 0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
* 稳定[[不动点]] <math>(\sqrt{\mu}, 0)</math>：在两个特征[[方向]]上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
* 不稳定[[不动点]] <math>(-\sqrt{\mu}, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。
* 不稳定[[不动点]] <math>(-\sqrt{\mu}, 0)</math>：在 <math>y</math> [[方向]]吸引，在 <math>x</math> [[方向]]排斥。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不稳定[[不动点]]分割，大部分轨线最终收敛于稳定[[不动点]]。
2. [[临界]][[分岔]]点 (<math>\mu = 0</math>)：
2. [[临界]][[分岔]]点 (<math>\mu = 0</math>)：
方程在[[实数]]域内无解，所有[[平衡点]]消失。
方程在[[实数]]域内无解，所有[[平衡点]]消失。
* [[幽灵吸引子]] (Ghost Attractor)：虽然[[平衡点]]不再存在，但在原点附近区域，[[向量场]]流速极慢（<math>\dot{x} \approx 0</math>）。系统状态在穿过该区域时会发生显著的[[临界迟滞]]现象，形成所谓的“[[瓶颈效应]]”。
* [[幽灵吸引子]] (Ghost [[Attractor]])：虽然[[平衡点]]不再存在，但在原点附近区域，[[向量场]]流速极慢（<math>\dot{x} \approx 0</math>）。[[系统状态]]在穿过该区域时会发生显著的[[临界迟滞]]现象，形成所谓的“[[瓶颈效应]]”。
=参考文献=
=参考文献=