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第97行： − 当环境参数（如森林承载力、蚜虫增长率）发生微小变化时，系统可能会穿过一个鞍结分岔点。原本被有效控制的低密度的蚜虫种群，转换到到蚜虫种群爆发的高密度的稳定不动点。+ 第135行：
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→案例：云杉蚜虫爆发模型
背景：云杉蚜虫是一种会吃森林树叶的虫子，同时也会被鸟类等动物捕食。<ref name="Strogatz1994" /><ref name="Ludwig1978">Ludwig, D., Jones, D. D., Holling, C. S. (1978) Qualitative Analysis of Insect Outbreak Systems: The Spruce Budworm and Forest.</ref>
背景：云杉蚜虫是一种会吃森林树叶的虫子，同时也会被鸟类等动物捕食。<ref name="Strogatz1994" /><ref name="Ludwig1978">Ludwig, D., Jones, D. D., Holling, C. S. (1978) Qualitative Analysis of Insect Outbreak Systems: The Spruce Budworm and Forest.</ref>
当环境参数（如森林承载力、蚜虫增长率）发生微小变化时，系统可能会穿过一个鞍结分岔点。原本被有效控制的低数量的蚜虫种群，会转换到持续爆发的高数量状态。
==模型方程==
==模型方程==
因<math>k</math>是一个慢变量，所以将其视为一个常数（上图中<math>k=10</math>），将<math>r</math>（上图纵坐标）视为主要控制参数。
因<math>k</math>是一个慢变量，所以将其视为一个常数（上图中<math>k=10</math>），将<math>r</math>（上图纵坐标）视为主要控制参数。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定[[不动点]]。此时蚜虫数量保持低密度可控范围。
* 当<math>r</math>很小时，可看到两条曲线仅有一个交点，且为一个稳定[[不动点]]。此时蚜虫数量保持低数量范围。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半[[稳定不动点]]。
* 令<math>r</math>逐渐增大到某个[[临界]]值<math>r_1</math>时，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段相切，出现了一个半[[稳定不动点]]。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。系统将偏移至右侧的稳定不动点，此时蚜虫种群保持高密度水平。
* 继续增大<math>r</math>，<math>y_1(x)</math>与<math>y_2(x)</math>的下降段出现了两个[[不动点]]（一个不稳定，一个稳定）。系统将偏移至右侧的稳定不动点，此时蚜虫种群保持高数量水平。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点[[分岔]]。
此时这块下降段区域的变化就是鞍结点[[分岔]]。
[[File:相图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
[[File:相图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
[[分岔图]]如下
[[File:分岔图：云杉蚜虫爆发模型.png|800px]]
=二维系统（以上）=
=二维系统（以上）=