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我们这里所说的黄金对角线是一种证明方法，它起源于数学家康托尔证明实数的个数比自然数多的过程中所用的一个特殊的技巧。

我们这里所说的黄金对角线是一种证明方法，它起源于数学家康托尔证明实数的个数比自然数多的过程中所用的一个特殊的技巧。

首先，康托尔定义对于两个超限集合（元素个数是无穷个）A和B来说，如果能找到一个单射f:AB（即任给一个A中的元素，都存在唯一的B中元素与其对应），那么就称A集合的元素个数c(A)<=c(B)，即B集合的元素个数。反过来，如果存在单射g:BA，那么就有c(B)<=c(A)。而如果c(A)<=c(B)和c(B)<=c(A)同时成立，就说c(B)=c(A)。

首先，康托尔定义对于两个超限集合（元素个数是无穷个）A和B来说，如果能找到一个单射f:A→B（即任给一个A中的元素，都存在唯一的B中元素与其对应），那么就称A集合的元素个数c(A)<=c(B)，即B集合的元素个数。反过来，如果存在单射g:B→A，那么就有c(B)<=c(A)。而如果c(A)<=c(B)和c(B)<=c(A)同时成立，就说c(B)=c(A)。

有了比较两个无穷集合元素个数的方法，我们就可以证明自然数集合N与偶数集合E的个数一样多。因为存在着单射f:NE，f(x)=2x，同时存在单射g:EN，g(x)=x/2。所以c(E)=c(N)。

有了比较两个无穷集合元素个数的方法，我们就可以证明自然数集合N与偶数集合E的个数一样多。因为存在着单射f:N→E，f(x)=2x，同时存在单射g:E→N，g(x)=x/2。所以c(E)=c(N)。

下面，我们来比较实数集合R和自然数集合N的元素个数的多少。首先，我们很容易构造一个从N到R的单射f:NR,f(x)=x。所以c(N)<=c(R)。

下面，我们来比较实数集合R和自然数集合N的元素个数的多少。首先，我们很容易构造一个从N到R的单射f:N→R,f(x)=x。所以c(N)<=c(R)。

接下来，是否存在从R到N的单射呢？答案是不存在，我们可以用反证法来证明。我们可以先把问题简化，仅仅看从[0,1]这个闭区间到自然数集合N存在一个单射g。这也就意味着，对于任意的[0,1]之间的实数x，都唯一存在着一个确定的自然数n与它对应。我们称n为x的编号。我们不妨按照x的编号大小写下这些实数而形成一个表格：

接下来，是否存在从R到N的单射呢？答案是不存在，我们可以用反证法来证明。我们可以先把问题简化，仅仅看从[0,1]这个闭区间到自然数集合N存在一个单射g。这也就意味着，对于任意的[0,1]之间的实数x，都唯一存在着一个确定的自然数n与它对应。我们称n为x的编号。我们不妨按照x的编号大小写下这些实数而形成一个表格：