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→二维系统及以上
==二维标准型==
==二维标准型==
<math display="block">
<math display="block">
\begin{cases} \dot x = \mu x - x^2 \\ \dot y = -\lambda y \end{cases}
\begin{cases} \dot x = \mu x - x^2 \\ \dot y = -\lambda y \end{cases}
</math>
</math>
* <math>x</math>与<math>y</math>为状态变量。
*<math>x</math>与<math>y</math>为状态变量。
* <math>\mu</math>为分岔参数。
*<math>\mu</math>为分岔参数。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（其中<math>\lambda>0</math>，通常取<math>\lambda=1</math>来简化讨论），表明系统在非[[分岔]]方向上是稳定的。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（其中<math>\lambda>0</math>，通常取<math>\lambda=1</math>来简化讨论），表明系统在非[[分岔]]方向上是稳定的。
三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有[[分岔]]行为（类似<math>\dot x = \mux - x^2</math>），系统在其余维度上稳定（均为类似<math>\dot y=-\lambda y</math>的形式，其中参数<math>\lambda>0</math>）。
三维以上的标准型与二维类似，仅在某个维度有[[分岔]]行为（类似<math>\dot x = \mux - x^2</math>），系统在其余维度上稳定（均为类似<math>\dot y=-\lambda y</math>的形式，其中参数<math>\lambda>0</math>）。
== 稳定性分析 ==
[[File:2D Saddle Node.png|800px|链接=https://wiki.swarma.org/index.php/%E6%96%87%E4%BB%B6:2D_Saddle_Node.png]]
x方向的[[不动点]]分析与一维情况完全类似。随着参数 <math>\mu</math> 的变化，二维相平面上的[[拓扑结构]]经历以下三个阶段：
1. 双[[不动点]]共存阶段 (<math>\mu > 0</math>)：
*稳定[[不动点]] <math>(\sqrt{\mu}, 0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
*不稳定[[不动点]] <math>(-\sqrt{\mu}, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不稳定[[不动点]]分割，大部分轨线最终收敛于稳定[[不动点]]。
2. [[临界]][[分岔]]点 (<math>\mu = 0</math>)： 两个[[不动点]]在原点 <math>(0,0)</math> 处发生碰撞并融合。
3. 互换稳定性后的双[[不动点]]共存阶段 (<math>\mu > 0</math>)：
*稳定[[不动点]] <math>(\sqrt{\mu}, 0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
*不稳定[[不动点]] <math>(-\sqrt{\mu}, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不稳定[[不动点]]分割，大部分轨线最终收敛于稳定[[不动点]]。
== 相关概念 ==
== 相关概念 ==