152
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第1行：
第1行： − {{#seo:+ − |keywords=稳定极限环,相空间,范德波尔振荡器 − |description=是一个在相空间中的闭合轨迹，它具有当时间趋于无穷大或时间趋于负无穷大时至少有一条其他轨迹螺旋进入的性质。 − }} − 极限环（Limit Cycle）是非线性动力系统中的重要概念，用于描述系统在长期演化过程中所呈现的周期性行为。当系统的轨道不收敛于平衡点，而是趋于一条闭合曲线时，即形成周期运动。在本文中，主要讨论二维自治系统（二维相空间）中的极限环。在这一情形下，极限环可以理解为相平面中的一条孤立闭轨道，即在该闭轨道的邻域内不存在其他周期轨道。该概念最早由 Henri Poincaré 提出，是微分方程定性理论的重要组成部分，并在分析二维系统的长期行为中具有核心作用。后续内容将基于二维相空间的框架，介绍极限环的定义、性质及其判定方法以及相关应用。 − == 定义 ==+ − 在研究二维相空间的动力系统时，极限环（limit cycle）通常定义为满足特定性质的闭轨道：该闭轨道是某一其他轨道的极限集，即至少存在另一条轨道，其在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时以螺旋方式趋近于该轨道。<ref name="Perko" /><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>+ − 为更精确地描述这一概念，考虑一个二维动力系统+ − : <math>x'(t) = V(x(t))</math> − − 该系统的一条轨道（trajectory）是满足上述微分方程的光滑函数 <math>x(t)</math>，其取值于 <math>\mathbb{R}^2</math>；而该函数在相空间中的像称为其轨道（orbit），即 <math>\mathbb{R}^2</math> 的一个子集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref>+ − 如果一条轨道不是常数解，并且存在 <math>T>0</math> 使得+ − − 在二维系统中，极限环可以看作是一类孤立的周期轨道，即其附近不存在其他周期轨道。+ − [[File:Limit cycle Poincare map.svg|thumb|250px|right|'''稳定极限环'''和另外两个螺旋进入它的轨迹 ]]+ − + − 在二维动力系统中，极限环具有若干重要性质。首先，由若尔当曲线定理（Jordan curve theorem），任意闭轨道都会将相平面划分为两个互不相交的区域，即曲线的内部区域与外部区域。<ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>+ − 极限环同时也是一个不变集，即若初始条件位于该闭轨道上，则对应解将始终沿该轨道演化。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref> 由微分方程解的唯一性可知，相空间中的不同轨道不能相交，因此极限环作为一条闭轨道也不会与其他轨道相交。<ref name="Perko" />+ − 此外，在二维系统中，极限环是孤立的周期轨道，即在其邻域内不存在其他闭轨道。<ref name="Perko" /> 若在极限环的内部或外部存在一条轨道，当 <math>t \to +\infty</math>（或 <math>t \to -\infty</math>）时趋近于该极限环，则在该极限环附近存在一个邻域，使得从该邻域出发并位于同一区域（内部或外部）的轨道也会在相同的时间方向上趋近于该极限环。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>+ − 因此，极限环可以作为其他轨道的极限集，并在描述二维动力系统的长期行为中发挥重要作用。<ref name="Strogatz" />+ − + − === 简单构造的极限环=== − 简单的极限环可以通过构造特定的二维系统来得到。以如下系统为示例：+ − <math display="block">+ − \begin{cases} − \dot{x} = x(1 - r^2) - y, \\ − \dot{y} = y(1 - r^2) + x, − \end{cases} − </math> − 其中 <math>r^2 = x^2 + y^2</math>。+ − 将系统改写为极坐标形式，可以得到：+ − + − − − \dot{\theta} = 1. − − − 由此可见，角变量 <math>\theta</math> 以常数速度增长，而径向变量 <math>r</math> 满足一维微分方程 <math>\dot{r} = r(1 - r^2)</math>。该方程在 <math>r = 0</math> 与 <math>r = 1</math> 处存在平衡点，其中 <math>r = 1</math> 为稳定平衡点：当 <math>0 < r < 1</math> 时，<math>\dot{r} > 0</math>，轨道向外增长；当 <math>r > 1</math> 时，<math>\dot{r} < 0</math>，轨道向内收缩。因此，无论初始半径小于还是大于 1，只要 <math>r \neq 0</math>，解都会在时间演化过程中逐渐趋近于 <math>r = 1</math>。+ − 与此同时，由于角变量 <math>\theta</math> 单调增加，轨道在趋近过程中会不断绕原点旋转，从而在相平面中呈现出螺旋形式。最终，轨道收敛到半径为 1 的圆，并沿该圆作周期运动。+ − − 因此，除原点外的所有轨道都会在时间趋于无穷时趋向于圆 <math>r = 1</math>。该单位圆构成系统的一条稳定极限环，即它既是周期轨道，又吸引其邻域内的轨道。 − − 该例说明，通过适当构造系统的径向动力学与角向动力学，可以显式构造出具有给定极限环的二维系统。<ref name="Strogatz" /> − ===Van der Pol 振子=== − [[Image:VanDerPolPhaseSpace.png|right|250px|thumb|'''<font color="#ff8000">范德波尔振荡器 Van der Pol oscillator</font>'''的稳定极限环 ]] − − Van der Pol 振子是研究极限环的经典非线性系统之一，其方程为： − − <math display="block"> − \ddot{x} - \mu (1 - x^2)\dot{x} + x = 0, − </math> − − 其中 <math>\mu > 0</math> 为参数。该方程最初由 :contentReference[oaicite:0]{index=0} 在研究电子振荡电路时提出。<ref name="Strogatz" /> − − 将其转化为二维一阶系统，可得： − − <math display="block"> − \begin{cases} − \dot{x} = y, \\ − \dot{y} = \mu (1 - x^2)y - x. − \end{cases} − </math> − − 该系统在原点处存在唯一的平衡点。通过线性化可以证明，当 <math>\mu > 0</math> 时，该平衡点是不稳定的。<ref name="Strogatz" /> − − 另一方面，该系统的轨道在相平面中被限制在有界区域内，并且不存在其他闭轨道。由此可知，系统存在一条唯一的极限环，并且所有非平衡轨道最终都会趋向该闭轨道。<ref name="Strogatz" /><ref name="Perko" /> − − 当参数 <math>\mu</math> 较小时，系统的振荡近似为正弦波；而当 <math>\mu</math> 较大时，系统表现出明显的非线性特征，轨道在相平面中呈现出缓慢变化与快速跃迁交替的行为，这种现象称为松弛振荡（relaxation oscillation）。<ref name="Strogatz" /> − − Van der Pol 振子表明，极限环不仅可以通过人工构造得到，还可以作为非线性系统的自然动力学行为出现，在物理、生物及工程系统中具有广泛应用。 − − == 极限环的排除方法== − − ===梯度系统（Gradient systems）=== − ===李雅普诺夫函数（Lyapunov functions）=== − === Dulac 准则（Dulac criterion）=== − − ==极限环存在性理论== − ===庞加莱–本迪克松定理（Poincaré–Bendixson theorem)=== − ===李纳定理（Liénard theorem）=== − − 每一个闭合轨迹在其内部都包含一个系统的驻点 Stationary Point，即点<math>p</math>当有<math>V(p)=0</math>.'''本迪克森-杜拉克定理 Bendixson–Dulac theorem</font>'''和'''庞加莱-本迪克森定理 Poincaré–Bendixson theorem'''分别预言了二维非线性动力系统极限环的缺失或存在。 − − ==极限环的近似定量分析== − ===松弛振荡=== − ===弱非线性振荡=== − ===摄动与平均法=== − − − ==稳定、不稳定和半稳定极限环== − 当所有相邻轨迹在时间趋于无穷大时都接近极限环时，称之为稳定或吸引极限环（ω-极限环）。当时间趋近于负无穷时，若所有相邻轨线都逼近它，则它是不稳定的极限环（α-极限环）。如果存在一个相邻轨迹在时间趋于无穷大时螺旋进入极限环，而另一个轨迹在时间趋于负无穷大时螺旋进入极限环，则称其为半稳定极限环。 − − 此外，还存在既不稳定也不不稳定亦不半稳定的情形，例如：邻近轨迹可能从外部接近极限环，而极限环内部由一族其他闭轨道逼近（这些轨道本身不是极限环）。 − − 稳定极限环是吸引子（attractor）的一个例子。它对应于自我维持的振荡（oscillation）：闭轨道描述了系统的周期行为，而任何偏离该轨道的微小扰动都会使系统重新回到该极限环上。 − − [[文件:极限环类型.png|none|缩略图|稳定，不稳定与半稳定极限环，引自<ref name="Strogatz" />]] − − == 待解决的问题 == − − 一般来说，寻找极限环是一个非常困难的问题。平面上一个多项式微分方程的极限环个数问题是希尔伯特第十六题（Hilbert's sixteenth problem）第二部分的主要研究对象。 − − 例如，在平面上是否存在一个系统 <math>x' = V(x)</math>，其中 <math>V</math> 的两个分量都是二次多项式，使得该系统具有超过四个极限环。 − − − == 应用 == − − [[File:Hopfbifurcation.png|thumb|400px|霍普夫分岔（Hopf bifurcation）附近不动点分支的极限环例子。红色轨迹表示解轨道，深蓝色表示稳定结构，浅蓝色表示不稳定结构。参数的变化决定极限环的出现及其稳定性。]] − − 科学应用中许多自持振荡系统的仿真中，极限环具有重要意义。一些典型例子包括： − − * 空气动力学中的极限环振荡<ref>Thomas, Jeffrey P.; Dowell, Earl H.; Hall, Kenneth C. (2002). "Nonlinear Inviscid Aerodynamic Effects on Transonic Divergence, Flutter, and Limit-Cycle Oscillations". AIAA Journal, 40(4): 638. DOI: 10.2514/2.1720.</ref> − − * 神经元动作电位的霍奇金–赫胥黎模型（Hodgkin–Huxley model） − − * 糖酵解过程中的塞尔科夫模型（Sel'kov model）<ref>Sel'kov, E. E. (1968). "Self-Oscillations in Glycolysis 1. A Simple Kinetic Model". European Journal of Biochemistry, 4(1): 79–86. DOI: 10.1111/j.1432-1033.1968.tb00175.x.</ref> − − * 动物基因表达、激素水平和体温的周期性变化，这些现象属于昼夜节律（circadian rhythm）的一部分<ref>Leloup, Jean-Christophe; Gonze, Didier; Goldbeter, Albert (1999). "Limit Cycle Models for Circadian Rhythms Based on Transcriptional Regulation in Drosophila and Neurospora". Journal of Biological Rhythms, 14(6): 433–448. DOI: 10.1177/074873099129000948.</ref><ref>Roenneberg, Till et al. (2008). "Modelling Biological Rhythms". Current Biology, 18(17): R826–R835. DOI: 10.1016/j.cub.2008.07.017.</ref> − − * 癌细胞在局限微环境中的迁移过程可表现出极限环振荡<ref>Brückner, David B. et al. (2019). "Stochastic nonlinear dynamics of confined cell migration in two-state systems". Nature Physics, 15(6): 595–601. DOI: 10.1038/s41567-019-0445-4.</ref> − − * 一些非线性电路系统表现出极限环振荡<ref>Ginoux, Jean-Marc; Letellier, Christophe (2012). "Van der Pol and the history of relaxation oscillations: Toward the emergence of a concept". Chaos, 22(2): 023120. DOI: 10.1063/1.3670008.</ref>，这启发了范德波尔模型（Van der Pol model） − − − == 参考文献 == − − <references/>
无编辑摘要
=== 梯度系统（Gradient systems） ===
梯度系统提供了一类可以直接排除极限环存在性的动力系统。对于二维梯度系统，其动力学方程可以写为
: <math>x' = -\nabla V(x)</math>
其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}</math> 为光滑标量函数，称为势函数（potential function）。在这种系统中，系统的运动方向始终沿着势函数下降最快的方向。
其中 <math>V : \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R}^2</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref>
沿着系统轨道计算函数 <math>V(x(t))</math> 的时间导数可得
: <math>\frac{d}{dt}V(x(t)) = \nabla V(x)\cdot x' = -|\nabla V(x)|^2 \le 0</math>
<math>x(t+T)=x(t)</math> 对所有 <math>t \in \mathbb{R}</math> 成立，则称该轨道为周期轨道（periodic trajectory），其在相空间中的像称为闭轨道（closed orbit）或循环（cycle）。<ref name="Strogatz" />
因此，<math>V</math> 在轨道上是单调不增的函数，并且除了在平衡点处外严格下降。这意味着系统在演化过程中始终向势函数较小的方向运动。
由于周期轨道要求系统状态在一个周期后返回初始点，从而使所有系统量恢复原值，而 <math>V</math> 在轨道上严格单调变化，因此在梯度系统中不可能存在闭轨道或极限环。因此，若一个二维系统可以写成梯度系统的形式，则可以直接排除极限环的存在。<ref name="Strogatz" />
== 性质 ==
=== 李雅普诺夫函数（Lyapunov functions） ===
李雅普诺夫函数方法也是排除极限环存在的一种常用工具。若存在一个光滑函数 <math>V(x)</math>，使得沿系统轨道有
: <math>\frac{d}{dt}V(x(t)) = \nabla V(x)\cdot f(x)</math>
在某一区域内始终保持严格正值或严格负值，则函数 <math>V</math> 在该区域内沿轨道单调变化。
由于周期轨道要求系统在一个周期后返回初始状态，因此任何在轨道上单调变化的函数都无法在周期结束时恢复原值。因此，如果存在这样的李雅普诺夫函数，则该区域内不可能存在闭轨道或极限环。
== 典型实例==
因此，通过构造适当的李雅普诺夫函数，可以证明某一区域内不存在极限环，并进一步分析系统的长期行为。<ref name="Perko" />
=== Dulac 准则（Dulac criterion） ===
Dulac 准则是排除二维系统中闭轨道的重要工具，也称为 Bendixson–Dulac 定理。考虑平面动力系统
: <math>x' = P(x,y), \qquad y' = Q(x,y)</math>
其中 <math>P</math> 和 <math>Q</math> 为连续可微函数。若存在一个连续可微函数 <math>B(x,y)</math>，称为 Dulac 函数，使得
<math display="block">
: <math>\frac{\partial (BP)}{\partial x} + \frac{\partial (BQ)}{\partial y}</math>
\begin{cases}
\dot{r} = r(1 - r^2), \\
\end{cases}
</math>
在某个单连通区域内始终保持同号且不恒为零，则该区域内不存在闭轨道，因此也不存在极限环。
该准则的思想来源于向量场散度的性质：如果适当加权后的向量场在区域内始终表现为整体收缩或扩张，则轨道无法形成封闭循环。因此 Dulac 准则常被用于证明某些平面动力系统不存在极限环。<ref name="Perko" />