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第90行：
第90行： − 当阈值(即初始高能量原子数)<math>N_{0}=\frac{k}{G}>0</math>时，泵中才出现可溢出光子数<math>n</math>，这时可以求出它的两个不动点：+ 第116行：
第116行： − + − + 第127行：
第127行： − （下面我 目前照抄 “鞍结点分岔的图”，待请教）+ − − − + − + − +
→分岔点
= (GN_{0} - k)n-(aG)n^2
= (GN_{0} - k)n-(aG)n^2
</math>
</math>
，当阈值(即初始高能量原子数)<math>N_{0}=\frac{k}{G}>0</math>时，泵中才出现可溢出光子数<math>n</math>，这时可以求出它的两个不动点：
<math display="block">
<math display="block">
n^* = 0
n^* = 0
===二维标准型===
===二维标准型===
<math display="block">
<math display="block">
\begin{cases} \dot x = rx - x^2 \\ \dot y = -\lambda y \end{cases}
\begin{cases} \dot x = \mux - x^2 \\ \dot y = -\lambda y \end{cases}
</math>
</math>
*<math>x</math>与<math>y</math>为状态变量。
*<math>x</math>与<math>y</math>为状态变量。
*<math>r</math>为分岔参数。
*<math>\mu</math>为分岔参数。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 一式描述了系统在<math>x</math>维度上的[[分岔]]行为。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（其中<math>\lambda>0</math>，通常取<math>\lambda=1</math>来简化讨论），表明系统在非[[分岔]]方向上是稳定的。
* 二式描述了系统在<math>y</math>维度上的收缩行为（其中<math>\lambda>0</math>，通常取<math>\lambda=1</math>来简化讨论），表明系统在非[[分岔]]方向上是稳定的。
=== 稳定性分析 ===
=== 稳定性分析 ===
[[文件:二维跨临界分岔.jpg|替代=|666x666像素]]
[[File:2D Saddle Node.png|800px|链接=https://wiki.swarma.org/index.php/%E6%96%87%E4%BB%B6:2D_Saddle_Node.png]]
x方向的[[不动点]]分析与一维情况完全类似。随着参数 <math>r</math> 的变化，二维相平面上的[[拓扑结构]]经历以下三个阶段：
x方向的[[不动点]]分析与一维情况完全类似。随着参数 <math>r</math> 的变化，二维相平面上的[[拓扑结构]]经历以下三个阶段：
1. 双[[不动点]]共存阶段 (r<0)：
1. 双[[不动点]]共存阶段 (<nowiki><math>\mu < 0</math></nowiki>)：
*稳定[[不动点]] <math>(0，0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
*稳定[[不动点]] <math>(0，0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
*不稳定[[不动点]] <math>(r, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。
*不稳定[[不动点]] <math>(r, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不稳定[[不动点]]分割，大部分轨线最终收敛于稳定[[不动点]]。
[[动力学]]特征：[[相空间]]被不稳定[[不动点]]分割，大部分轨线最终收敛于稳定[[不动点]]。
2. [[临界]][[分岔]]点 (r = 0)： 两个[[不动点]]在原点 <math>(0,0)</math> 处发生碰撞并融合。
2. [[临界]][[分岔]]点 (<nowiki><math>\mu = 0</math></nowiki>)： 两个[[不动点]]在原点 <math>(0,0)</math> 处发生碰撞并融合。
3. 互换稳定性后的双[[不动点]]共存阶段 (<math>r>0</math>)：
3. 互换稳定性后的双[[不动点]]共存阶段 (<math><math>\mu > 0</math></math>)：
*稳定[[不动点]] <math>(r, 0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
*稳定[[不动点]] <math>(r, 0)</math>：在两个特征方向上均表现为吸引，对应系统的一个[[稳态]]。
*不稳定[[不动点]] <math>(0, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。
*不稳定[[不动点]] <math>(0, 0)</math>：在 <math>y</math> 方向吸引，在 <math>x</math> 方向排斥。