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→稳定性分类
上述分类在直觉上清晰，但要对稳定性给出严格的定量判断，需借助'''庞加莱映射'''（Poincaré map）。其做法是：在相平面内作一条与极限环横截相交的截线，记录轨道每次穿越截线的位置，从而将连续系统的稳定性问题转化为一个离散映射的不动点稳定性问题。<ref name="Wikipedia_PM">Poincaré map. ''Wikipedia''. https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_map</ref>若该映射在极限环对应不动点处的导数（即'''特征乘子'''，characteristic multiplier）的模小于1，则极限环渐近稳定；若模大于1，则不稳定。值得注意的是，这一稳定性判断与所选截线的具体位置无关。<ref name="Wiggins">Wiggins, S. (2003). ''Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos'' (2nd ed.). Springer.</ref>
上述分类在直觉上清晰，但要对稳定性给出严格的定量判断，需借助'''庞加莱映射'''（Poincaré map）。其做法是：在相平面内作一条与极限环横截相交的截线，记录轨道每次穿越截线的位置，从而将连续系统的稳定性问题转化为一个离散映射的不动点稳定性问题。<ref name="Wikipedia_PM">Poincaré map. ''Wikipedia''. https://en.wikipedia.org/wiki/Poincaré_map</ref>若该映射在极限环对应不动点处的导数（即'''特征乘子'''，characteristic multiplier）的模小于1，则极限环渐近稳定；若模大于1，则不稳定。值得注意的是，这一稳定性判断与所选截线的具体位置无关。<ref name="Wiggins">Wiggins, S. (2003). ''Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos'' (2nd ed.). Springer.</ref>
====庞加莱映射示例====
以极坐标系统 <math>\dot{r} = r(1-r^2),\ \dot{\theta} = 1</math> 为例。取正实轴
<math>\theta = 0</math> 为庞加莱截线，设轨道从 <math>r_0 > 0</math> 出发，经过
一整圈（用时 <math>T = 2\pi</math>）后返回截线于 <math>P(r_0)</math>。
对径向方程显式求解，可得返回映射的解析表达式：<ref name="Strogatz" />
<math display="block">
P(r_0) = \frac{1}{\sqrt{1 + e^{-4\pi}(r_0^{-2} - 1)}}
</math>。
不动点满足 <math>P(r_0) = r_0</math>，解得 <math>r_0 = 1</math>，对应单位圆极限环。
在不动点处求导以得到特征乘子：
<math display="block">
P'(1) = e^{-4\pi} \approx 3.5 \times 10^{-6}
</math>。
由于 <math>|P'(1)| < 1</math>，确认该极限环渐近稳定，与从径向动力学直接分析的结论一致。