152
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第312行：
第312行： + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + + +
→高维系统中的稳定性分析：Floquet 理论
在二维情形下，<math>n-1=1</math>，退化为单个特征乘子，与[[#稳定性分类]]一节中的讨论一致。<ref name="Wiggins" />
在二维情形下，<math>n-1=1</math>，退化为单个特征乘子，与[[#稳定性分类]]一节中的讨论一致。<ref name="Wiggins" />
'''示例：''' 考虑三维系统
<math display="block">
\begin{cases}
\dot{x} = -y + x(1 - x^2 - y^2), \\
\dot{y} = x + y(1 - x^2 - y^2), \\
\dot{z} = -z.
\end{cases}
</math>
前两个方程在极坐标下化为 <math>\dot{r} = r(1-r^2)</math>、<math>\dot{\theta} = 1</math>，第三个方程独立。系统在单位圆柱面 <math>r = 1</math> 上存在极限环
<math display="block">
\Gamma: \quad x(t) = \cos t,\quad y(t) = \sin t,\quad z(t) = 0,
</math>
周期为 <math>T = 2\pi</math>。
对系统在 <math>\Gamma</math> 附近线性化，变分方程的单值矩阵可分块对角化。沿 <math>(x,y)</math> 方向（横截于极限环），特征乘子为
<math display="block">
\mu_1 = e^{-4\pi} \approx 3.5 \times 10^{-6};
</math>
沿 <math>z</math> 方向，特征乘子为
<math display="block">
\mu_2 = e^{-2\pi} \approx 0.0019.
</math>
由于 <math>|\mu_1| < 1</math> 且 <math>|\mu_2| < 1</math>，所有横截特征乘子的模均小于 1，故该极限环渐近稳定。<ref name="Wiggins" /><ref name="Chicone" />
=== 极限环周围的相空间结构：不变流形 ===
=== 极限环周围的相空间结构：不变流形 ===