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=== 方程的数学性质 ===

=== 方程的数学性质 ===

1）非线性：含 <math>xz</math>、<math>xy</math> 二次非线性项，是混沌的数学根源。xz、xy二次非线性项。是洛伦兹系统产生初值敏感性、非周期性、混沌行为的数学根源；线性系统无混沌行为(这是混沌理论的基本定理)

1）非线性：含 <math>xz</math>、<math>xy</math> 二次非线性项，是混沌的数学根源。xz、xy二次非线性项。是洛伦兹系统产生初值敏感性、非周期性、混沌行为的数学根源；线性系统无混沌行为(这是混沌理论的基本定理)

2）对称性：<math>(x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)</math> 对称，系统关于 <math>z</math> 轴对称。洛伦兹混沌吸引子的几何形状关于Z轴对称，取值分布具有对称性，无单侧偏置。   

2）对称性：<math>(x,y,z)\mapsto (-x,-y,z)</math> 对称，系统关于 <math>z</math> 轴对称。洛伦兹混沌吸引子的几何形状关于Z轴对称，取值分布具有对称性，无单侧偏置。   

3）耗散性：散度 <math>\nabla\cdot F=-\sigma-1-b<0</math>，体积严格指数收缩。只要 σ,β>0，散度严格负，系统是耗散的：相空间体积随时间收缩，所有轨道最终进入紧不变集。   

3）耗散性：散度 <math>\nabla\cdot F=-\sigma-1-b<0</math>，体积严格指数收缩。只要 σ,β>0，散度严格负，系统是耗散的：相空间体积随时间收缩，所有轨道最终进入紧不变集。   

4）初值敏感性：在混沌参数区间下，系统的最大李雅普诺夫指数 λ₁>0，相邻轨道的偏差向量随时间渐近指数演化：

4）初值敏感性：在混沌参数区间下，系统的最大李雅普诺夫指数 λ₁>0，相邻轨道的偏差向量随时间渐近指数演化：

<math>\|\delta\boldsymbol{u}(t)\| \sim \|\delta\boldsymbol{u}_0\| e^{\lambda_1 t}</math>

<math>\|\delta\boldsymbol{u}(t)\| \sim \|\delta\boldsymbol{u}_0\| e^{\lambda_1 t}</math>