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== '''非线性系统的线性化失效''' ==

== '''非线性系统的线性化失效''' ==

对于一般的非线性系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，[[不动点]] <math>\mathbf{x}^*</math> 附近的局部动力学行为通常可通过线性化系统来近似判定。根据'''[[哈特曼-格罗伯曼定理]]'''（'''Hartman-Grobman Theorem'''），若不动点是'''[[双曲不动点]]'''（即雅可比矩阵的所有特征值实部均不为零），则非线性系统与其线性化系统在不动点附近是局部拓扑等价的，线性化分析能够正确反映系统的定性行为（如稳定性）。

对于一般的非线性系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>，[[不动点]] <math>\mathbf{x}^*</math> 附近的局部动力学行为通常可通过线性化系统来近似判定。根据'''[[哈特曼-格罗伯曼定理]]'''（'''Hartman-Grobman Theorem'''），若不动点是'''[[双曲不动点]]'''（即雅可比矩阵的所有特征值实部均不为零），则非线性系统与其线性化系统在不动点附近是局部拓扑等价的，线性化分析能够正确反映系统的稳定性等定性行为。

然而，当不动点为'''[[非双曲不动点]]'''时（即存在实部为零的特征值），该定理不再适用。此时，高阶非线性项主导了不动点邻域内的动力学行为，微小的扰动即可能导致线性化预测的彻底失效。以下三类典型的非双曲边界情形极易发生定性改变：

但当不动点为'''[[非双曲不动点]]'''时（即存在实部为零的特征值），该定理不再适用。此时，高阶非线性项主导了不动点邻域内的动力学行为，微小的扰动即可能导致线性化预测的彻底失效。以下三类典型的非双曲边界情形极易发生定性改变：

[[文件:非线性系统线性化失效典型情形.png|缩略图|图2：非线性系统线性化失效典型情形]]

[[文件:非线性系统线性化失效典型情形.png|缩略图|图2：非线性系统线性化失效典型情形]]

=== 退化结点 ===

=== 退化结点 ===

当雅可比矩阵具有重特征值且仅对应单个独立特征向量时，线性化系统预测不动点为'''退化结点'''（'''Degenerate Node'''）。虽然其稳定性（稳定或不稳定）在非线性扰动下通常得以保持，但其局部轨迹的几何形状可能发生改变（例如从结点变为焦点）。在参数分岔分析中，退化结点常出现在结点与焦点区域的交界处。

当雅可比矩阵具有重特征值且仅对应单个独立特征向量时，线性化系统预测不动点为'''退化结点'''（'''Degenerate Node'''）。虽然其稳定性（稳定或不稳定）在非线性扰动下通常得以保持，但其局部轨迹的几何形状可能发生改变（例如从[[结点]]变为[[焦点]]）。在参数分岔分析中，'''退化结点'''常出现在[[结点]]与[[焦点]]区域的交界处。

=== 非孤立不动点 ===

=== 非孤立不动点 ===

=== 定义 ===

=== 定义 ===

在经典力学与非线性动力学中，若一个二阶系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>（其中 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2</math>）存在一个光滑的实值函数 <math>E(\mathbf{x})</math>，使得沿任意轨迹 <math>\mathbf{x}(t)</math> 均有 <math>\frac{dE}{dt} = 0</math>，且 <math>E(\mathbf{x})</math> 在任何开集上不为常数，则称该系统为'''保守系统'''，<math>E(\mathbf{x})</math> 称为'''守恒量'''或'''第一积分'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。

在经典力学与非线性动力学中，若一个二阶系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>（其中 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2</math>）存在一个光滑的实值函数 <math>E(\mathbf{x})</math>，使得沿任意轨迹 <math>\mathbf{x}(t)</math> 均有 <math>\frac{dE}{dt} = 0</math>，且 <math>E(\mathbf{x})</math> 在任何开集上不为常数，则称该系统为'''保守系统'''，<math>E(\mathbf{x})</math> 称为'''守恒量'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。

=== 定理（保守系统的非线性中心）===

=== 定理（保守系统的非线性中心）===