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=== 定义 ===

=== 定义 ===

在经典力学与非线性动力学中，若一个二阶系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>（其中 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2</math>）存在一个光滑的实值函数 <math>E(\mathbf{x})</math>，使得沿任意轨迹 <math>\mathbf{x}(t)</math> 均有 <math>\frac{dE}{dt} = 0</math>，且 <math>E(\mathbf{x})</math> 在任何开集上不为常数，则称该系统为'''保守系统'''，<math>E(\mathbf{x})</math> 称为'''守恒量'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。

在经典力学与非线性动力学中，若一个二阶系统 <math>\dot{\mathbf{x}} = \mathbf{f}(\mathbf{x})</math>（其中 <math>\mathbf{x} \in \mathbb{R}^2</math>）存在一个光滑的实值函数 <math>E(\mathbf{x})</math>，使得沿任意轨迹 <math>\mathbf{x}(t)</math> 均有 <math>\frac{dE}{dt} = 0</math>，且 <math>E(\mathbf{x})</math> 在任何开集上不为常数，<math>E(\mathbf{x})</math> 称为'''守恒量'''，称具有该守恒量的系统为'''保守系统'''<ref>STROGATZ S H. 非线性动力学与混沌[M]. 孙梅, 汪小帆, 译. 2版. 北京: 机械工业出版社, 2017</ref>。

=== 定理（保守系统的非线性中心）===

=== 定理（保守系统的非线性中心）===

:<math>E(x, y) = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4.</math>

:<math>E(x, y) = \frac{1}{2}y^2 - \frac{1}{2}x^2 + \frac{1}{4}x^4.</math>

不动点为 <math>(0,0)</math> 和 <math>(\pm 1, 0)</math>。在 <math>(0,0)</math> 处，能量曲面的等高线呈现鞍点特征；而在 <math>(\pm 1, 0)</math> 处，<math>E(x, y)</math> 达到局部极小值。根据定理，这两个不动点均为非线性中心，附近存在一族闭轨（周期轨道）。

不动点为 <math>(0,0)</math> 和 <math>(\pm 1, 0)</math>。在 <math>(0,0)</math> 处，能量曲面的等高线呈现鞍点特征；而在 <math>(\pm 1, 0)</math> 处，<math>E(x, y)</math> 达到局部极小值。根据定理，这两个不动点均为非线性中心，附近存在一族闭轨（周期轨道）。

== '''可逆系统中的非线性中心''' ==

== '''可逆系统中的非线性中心''' ==