3,094
个编辑
更改
跳到导航
跳到搜索
第530行：
第530行： − − ===基本原理=== − − 直观地说，如果把一个马尔科夫动力学看作通信信道，那么每一状态下的概率转移就可以看作一条信息通路（information pathway）。于是，系统发生因果涌现就等价于系统中存在冗余的信息通路，也就是某些状态转移彼此相似或线性相关。消除这些冗余通路的最好办法，就是利用 SVD 找到等于零或接近于零的奇异值及其对应的奇异向量，这实际上正是最大化有效信息的精髓所在。事实上，可以证明，最大化宏观动力学有效信息的粗粒化方案，近似等价于将系统动力学投影到较大奇异值对应的奇异向量方向上的方案<ref name="reversibility"/>。而系统所能达到的最大信息传输效率提升（归一化的近似动力学可逆性），就可以定义为因果涌现的强度。 − − 根据{{EquationRef|EI}}，EI定义为[math]P[/math]中所有行向量彼此之间的相似性程度（以[[KL散度]]来衡量）。因而，通过EI最大化得到的粗粒化方案可以通过消除这些彼此相似的行向量，从而实现概率转移矩阵的粗粒化约简。但是仅考虑这种用KL散度衡量的行向量相似性是不够的，下面两个 4×4 马尔科夫链展示了另一种行向量上的冗余性： − − <math> − P_{\mathrm{lin}}=\begin{pmatrix} − 0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\ − 0 & 0 & 0.1 & 0.9 \\ − 0.27& 0.03& 0.07& 0.63\\ − 0.63& 0.07& 0.03& 0.27 − \end{pmatrix} − </math> − − <math> − P_{\mathrm{cmp}}=\begin{pmatrix} − 0.9 & 0.1 & 0 & 0 \\ − 0 & 0 & 0.1 & 0.9 \\ − 0.63& 0.03& 0.07& 0.27\\ − 0.27& 0.07& 0.03& 0.63 − \end{pmatrix} − </math> − − 在 <math>P_{\mathrm{lin}}</math> 中，第三行和第四行并不是新的独立通路，而是前两行的线性组合： − − <math> − P_3=0.3P_1+0.7P_2,\qquad P_4=0.7P_1+0.3P_2 − </math> − − 其物理含义是，当当量随机游走粒子以30%概率位于第一个状态，以70%概率位于第2个状态的时候，它们的概率转移就与处于第三状态的随机游走粒子没有任何区别了，因此第三状态下的概率转移通路与以30%走第一状态下的概率转移通路和以70%概率走第二状态的概率转移通路没有区别，存在着冗余。同样的道理，对于第四行也有类似的冗余性。 − − 而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 使用了同样的行分布形状和同样的平均输出分布，但第三、四行不再只是前两行的线性混合。换句话说，两个矩阵在 EI 看重的分布差异上几乎被设计成一样，但在行向量彼此之间的线性相关性上则不同。诸如[math]P_{\mathrm{lin}}[/math]这样的线性相关性引起的相似性用EI就无法刻画，但却可以被近似动力学可逆性指标[math]\Gamma_{\alpha}[/math]来刻画。 − − 所以，EI无法避免刻画这种由线性相关带来的冗余性，但是近似动力学可逆性则可以。
→基本原理
这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有信息通道的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。
这两个矩阵的 EI 完全相同，因为它们的平均输出分布相同，各行转移分布的熵也相同。也就是说，从 EI 的角度看，它们具有相同的因果效应强度。但从奇异值谱看，<math>P_{\mathrm{lin}}</math> 只有两条独立的信息通路，而 <math>P_{\mathrm{cmp}}</math> 有三条独立的信息通路。因此，<math>\Gamma_0</math> 和 <math>\Gamma_1</math> 能区分这两种动力学结构，而 EI 无法区分。这个例子说明，<math>\Gamma_{\alpha}</math> 的优势不在于替代 EI，而在于它能刻画 EI 不敏感的'''线性冗余'''：有些状态转移在概率分布上并不相同，却可能只是已有信息通道的线性混合。需要注意的是，<math>\Gamma_2</math> 在这个例子中相同，因为它更接近于衡量矩阵的确定性或能量大小；真正揭示通路冗余的是更偏向秩结构的 <math>\Gamma_0</math>，以及介于二者之间的 <math>\Gamma_1</math>。
==动力学一致性==
==动力学一致性==