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第14行： − + − 值得注意的是，一维自治系统中不可能存在极限环，因为一维相空间中的轨道只能单调递增、单调递减或停留于平衡点，无法构成闭合曲线。+ − + − +
→定义
== 定义 ==
== 定义 ==
'''极限环的定义：'''极限环是 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）动力系统相空间中一条孤立的周期轨道，且在其某个邻域内不存在其他周期轨道。等价地，至少存在一条不同于极限环本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时趋近于该闭合轨道，即极限环是这些轨道的 ω 极限集或 α 极限集。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>
'''极限环的定义：'''极限环是 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）[[动力系统]][[相空间]]中一条孤立的周期轨道，且在其某个[[邻域]]内不存在其他周期轨道。等价地，至少存在一条不同于极限环本身的轨道，在 <math>t \to +\infty</math> 或 <math>t \to -\infty</math> 时趋近于该闭合轨道，即极限环是这些轨道的[[[math]\omega[/math]极限集]]或[[[math]\alpha[/math]极限集]]。<ref name="Perko">Perko, L. (2001). ''Differential Equations and Dynamical Systems''. Springer.</ref><ref name="Devaney">Devaney, R. (1989). ''An Introduction to Chaotic Dynamical Systems''. CRC Press.</ref>
值得注意的是，一维[[自治系统]]中不可能存在极限环，因为一维相空间中的轨道只能单调递增、单调递减或停留于平衡点，无法构成闭合曲线。
为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）自治动力系统
为使用更形式化的语言描述这一概念，现考虑一个 <math>n</math> 维（<math>n \geq 2</math>）[[自治动力系统]]
: <math>\mathbf{x}'(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))</math>
: <math>\mathbf{x}'(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t))</math>
其中 <math>\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref> 该系统的一条轨线（trajectory）是满足上述微分方程的一个光滑解 <math>\mathbf{x} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math>，其在相空间中的像称为'''轨道'''，是 <math>\mathbb{R}^n</math> 的一个子集。<ref name="Perko" /> 若某条轨线不是常数解，并且存在 <math>T > 0</math>，使得
其中 <math>\mathbf{f} : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> 为光滑向量场。<ref name="Strogatz">Strogatz, S. H. (1994). ''Nonlinear Dynamics and Chaos''. Westview Press.</ref> 该系统的一条轨线（trajectory）是满足上述[[微分方程]]的一个光滑解 <math>\mathbf{x} : \mathbb{R} \to \mathbb{R}^n</math>，其在相空间中的像称为'''轨道'''，是 <math>\mathbb{R}^n</math> 的一个子集。<ref name="Perko" /> 若某条轨线不是常数解，并且存在 <math>T > 0</math>，使得
: <math>\mathbf{x}(t + T) = \mathbf{x}(t) \quad \forall\, t \in \mathbb{R}</math>
: <math>\mathbf{x}(t + T) = \mathbf{x}(t) \quad \forall\, t \in \mathbb{R}</math>